正方形 探索式教學示例

教學引入

師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。

動畫演示：

場景一：正方形折疊演示

    師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板（刻度尺）和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

    [學生活動：各自測量。]

    鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。

    講授新課

    找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規范性。

動畫演示：

場景二：正方形的性質

師：這些性質里那些是矩形的性質？

[學生活動：尋找矩形性質。]

動畫演示：

場景三：矩形的性質

師：同樣在這些性質里尋找屬于菱形的性質。

[學生活動；尋找菱形性質。]

動畫演示：

場景四：菱形的性質

師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質。

及時提出問題，引導學生進行思考。

師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義？怎么樣給正方形下一個準確的定義？

[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]

師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：

“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”

[學生活動：討論這三個定義正確不正確？三個定義之間有什么共同和不同的地方？這出教材中采用的是第三種定義方式。]

師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。

動畫演示：

場景五：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系

場景六：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的性質關系

師：當然平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系還可以用下圖（圖1）表示：

圖1

師：請同學們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系以及平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的性質關系整理在筆記本上。

例題講解

例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE

分析：據已知條件畫出圖形，如圖2所示，要證明線段相等，與圖形可以證明二個三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC.

證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

圖2

說明：應用正方形的性質，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質的應用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結論完全相同，證法是可以借鑒的。

鞏固練習

鞏固練習題目可有教師根據學生情況自主選擇。

講解新課

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系，怎么判定一個矩形是正方形？

生：證一組鄰邊相等。

師：怎么判定一個菱形是正方形？

生：證有一個角是直角。

師：怎么判定一個平行四邊形是正方形？

生：根據定義，證有一組鄰邊相等且有一個角是直角。

師：那么，剛才的結論如果用圖來表示，是不是如圖2所示？

師：圖3表現出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系把圖3補全？

[學生活動：積極思考，部分學生疑惑不解。]

師點取上等學生回答問題，根據回答得圖4。

生恍然大悟。

學生思路得到啟發，中上等及上等學生意猶未盡，鼓勵他們根據矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡單示例。

就勢跟進，要求學生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對角線條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡單圖例，并說出相應證明思路。

為進一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個問題：

(1)對角線相等的菱形是正方形嗎？

(2)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？

(3)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？

(4)能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”

(5)四個角都相等的四邊形是正方形嗎？

小結：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學會具體分析，規定條件和隱含條件不外乎邊、角、對角線，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學會去分析。

動畫演示：

場景七：正方形的判定

例題講解

例2  如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點，DE、CF相交于M，

求證：AD=AM。

分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關的等腰三角形？只需延長CF、DA交于N，即可出現直角三角形MND，只要證明A是ND中點即可。這是是否發現△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，從而A是ND中點，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。

證明：略。

說明：將此題中的中點E、F進行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個變化后的圖形在正方形中常常出現，要注意隱含的這個垂直條件。

課堂練習題及課后作業 可由教師根據學生情況自主選擇。