數學教案－提公因式法
提公因式法(一)
教學目標
1.使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系.
2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.
3.通過學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析和創新能力，深化學生逆向思維能力.
教學重點及難點
教學重點：
因式分解的概念及提公因式法.
教學難點 ：
正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯系.
教學過程 設計：
一、復習提問
乘法對加法的分配律.
二、新課
1.新課引入：用類比的方法引入課題.
在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數).例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7.
在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.
2.因式分解的概念：
請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)＝a2-b2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等.
再請學生觀察它們有什么共同的特點？
特點：左邊，整式×整式；右邊，是多項式.
可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.
定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c).
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc.
讓學生說出因式分解與整式乘法的聯系與區別.
聯系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式.
區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式.
例1 下列各式從左到右哪些是因式分解？（投影）
(1)x2-x＝x(x-1) (√)
(2)a(a-b)＝a2-ab (×)
(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)
(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)
(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)
下面我們學習幾種常見的因式分解方法.
3.提公因式法：
我們看多項式：ma+mb+mc
請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.
注意：公因式是各項都含有的公共的因式.
又如：a是多項式a2-a各項的公因式.
ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.
2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.
根據乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c).
這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多 項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數：(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式：
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.
分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.
先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).
說明：
(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取.
(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒；③強調提公因式；③強調因式分解.
例4 把3x2-6xy+x 分解因式.
分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1.
解：3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
＝x(3x-6y+1).
說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數通常可以省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項.
課堂練習：（投影）
把下列各式分解因式：
(l)2πR+2πr；
(2)
(3)3x3+6x2；
(4)21a2+7a；
(5)15a2+25ab2；
(6)x2y+xy2-xy.
例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.
分析：此多項式第一項的系數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然后再提公因式，提-號時，注意添括號法則.
解：-4m3+16m2-26m
＝-(4m3-16m2+26m)
＝-2m(2m2-8m+13).
說明：通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項系數的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號；然后再提公因式.
課堂練習：（投影）
把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；
(6)
(三)小結
1.因式分解的意義及其概念.
2.因式分解與整式乘法的聯系與區別.
3.公因式及提公因式法.
4.提公因式法因式分解中應注意的問題.
六、作業
教材 P.10中 1、2、3、4.
七、板書設計