數學教案－線段的垂直平分線

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

本節內容的重點是線段垂直平分線定理及其逆定理. 定理反映了線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的依據；逆定理反映了線段垂直平分線的判定，是證明某點在某條直線上及一條直線是已知線段的垂直平分線的依據.

本節內容的難點是定理及逆定理的關系. 垂直平分線定理和其逆定理，題設與結論正好相反. 學生在應用它們的時候，容易混淆，幫助學生認識定理及其逆定理的區別，這是本節的難點.

2、  教法建議

本節課教學模式主要采用“學生主體性學習”的教學模式. 提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，錯誤原因讓學生說，方法與規律讓學生歸納. 教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索，積極思考，大膽想象，總結規律，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人. 具體說明如下：

（1）參與探索發現，領略知識形成過程

學生前面，學習過線段垂直平分線的概念，這樣由復習概念入手，順其自然提出問題：在垂直平分線上任取一點P，它到線段兩端的距離有何關系？學生會很容易得出“相等”. 然后學生完成證明，找一名學生的證明過程，進行投影總結. 最后，由學生將上述問題，用文字的形式進行歸納，即得線段垂直平分線定理. 這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，激發了學生的認識沖突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機會，對定理的產生過程，真正做到心領神會.

（2）采用“類比”的學習方法，獲取逆定理

線段垂直平分線的定理及逆定理的證明都比較簡單，學生學習一般沒有什么困難，這一節的難點仍然的定理及逆定理的關系，為了很好的突破這一難點，教學時采用與角的平分線的性質定理和逆定理對照，類比的方法進行教學，使學生進一步認識這兩個定理的區別和聯系.

(3) 通過問題的解決，讓學生學會從不同角度分析問題、解決問題；讓學生學會引申、變更問題，以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力.

教學目標 ：

1、知識目標：

（1）掌握線段的垂直平分線的性質定理及其逆定理；

（2）能運用它們證明兩條線段相等或兩條直線互相垂直；

2、能力目標：

（1）通過例題的學習，提高學生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力；

（2）提高綜合運用知識的能力.

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；；

（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.

教學重點：線段垂直平分線定理及其逆定理

教學難點 ：定理及逆定理的關系 

教學用具：直尺，微機

教學方法：以學生為主體的討論探索法

教學過程 ：

1、新課背景知識復習

（1）線段垂直平分線的概念

（2）問題：（投影顯示）

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P為CD上任意一點，PA、PB有何關系？為什么？

整個過程，由學生完成. 找一名學生代表回答上述問題并

投影顯示學生的證明過程.

2、定理的獲得

讓學生用文字語言將上述問題表述出來.

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

強調說明：線段垂直平分線性質定理是證明線段相等的一條依據，在計算、作圖中也有重要作用.

學生根據上述學習，提出自己的問題（待定）

學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然后大家共同分析討論.

3、逆定理的獲得

類比角平分線逆定理獲得的過程，讓學生講解下一環節所要學習研究的內容.

這一過程，完全由學生自己通過小組的形式，代表到臺前講解.

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

強調說明：定理與逆定理的聯系與區別

相同點：結構相同、證明方法相同

不同點：用途不同，定理是用來證線段相等

4、定理與逆定理的應用

（1）講解例1（投影例1）

例1 如圖，△ABC中，∠C＝ ，∠A＝ ，AB的在垂線交AC于D，交AB于E

求證：AC＝3CD

證明：∵DE垂直平分AB

∴AD＝BD

∴∠1＝∠A＝

∵

∴∠2＝

∴CD＝ BD

∴CD＝ AD

∴AD＝2CD

即AC＝3CD

講解例2（投影例2 ）

例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直線與AC所在直線相交所得的銳角為 ，求底角B的大小.

（學生思考、分析、討論，教師巡視，適當參與討論）

解：（1）當AB的中垂線MN與AC相交時，如圖（1），

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠A＝ －∠AED＝ － ＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

（2）當的中垂線與的延長線相交時，如圖（2）

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠BAE＝－∠AED＝－＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

例3 （1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A＝ ，求∠NMB的大小

（2）如果將（1）中∠A的度數改為 ，其余條件不變，再求∠NMB的大小

（3）你發現有什么樣的規律性？試證明之.

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改

解：（1）∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠B＝

∵∠BNM＝

∴

（2）如圖，同（1）同理求得

（3）如圖，∠NMB的大小為∠A的一半

5、課堂小結：

(1)線段垂直平分線性質定理和逆定理

(2)在應用時，易忽略直接應用，往往又重新證三角形的全等，使計算或證明復雜化.

6、布置作業 ：

書面作業 P119＃2、3

思考題：已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高

求證：AD垂直平分EF

證明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在線段EF的垂直平分線上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE＝AF

∴A點也在線段EF的垂直平分線上

∵兩點確定一條直線

∴直線AD就是線段EF的垂直平分線

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