二次根式的化簡(jiǎn)
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
.
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是 的化簡(jiǎn).本章自始至終圍繞著與計(jì)算進(jìn)行，而 的化簡(jiǎn)不但涉及到前面學(xué)習(xí)過(guò)的算術(shù)平方根、二次根式等概念與二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，還要牽涉到絕對(duì)值以及各種非負(fù)數(shù)、因式分解等知識(shí)，在應(yīng)用中常常需要對(duì)字母進(jìn)行分類(lèi)討論.
本節(jié)的難點(diǎn)是正確理解與應(yīng)用公式
.
這個(gè)公式的表達(dá)形式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，比較生疏，而實(shí)際運(yùn)用時(shí)，則要牽涉到對(duì)字母取值范圍的討論，學(xué)生往往容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.
教法建議
1.性質(zhì)的引入方法很多，以下2種比較常用：
（1）設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)啟發(fā)：由設(shè)計(jì)的問(wèn)題
1） 、 、 各等于什么？
2） 、 、 各等于什么？
啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生猜想出
（2）從算術(shù)平方根的意義引入.
2.性質(zhì)的鞏固有兩個(gè)方面需要注意：
（1）注意與性質(zhì) 進(jìn)行對(duì)比，可出幾道類(lèi)型不同的題進(jìn)行比較；
（2）學(xué)生初次接觸這種形式的表示方式，在教學(xué)時(shí)要注意細(xì)分層次加以鞏固，如單個(gè)數(shù)字，單個(gè)字母，單項(xiàng)式，可進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式，等等.
（第1課時(shí)）
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的性質(zhì)
2.能夠利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式
3.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)滲透分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和方法
對(duì)比、歸納、總結(jié)
三、重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：理解并掌握二次根式的性質(zhì)
2.難點(diǎn)：理解式子 中的 可以取任意實(shí)數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡(jiǎn)有關(guān)的二次根式.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)對(duì)比，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動(dòng)為主
七、教學(xué)過(guò)程
一、導(dǎo)入 新課
我們知道，式子 （ ）表示非負(fù)數(shù) 的算術(shù)平方根.
問(wèn)：式子 的意義是什么？被開(kāi)方數(shù)中的 表示的是什么數(shù)？
答：式子 表示非負(fù)數(shù) 的算術(shù)平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實(shí)數(shù).
二、新課
計(jì)算下列各題，并回答以下問(wèn)題：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8）
1.各小題中被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)都是什么數(shù)？
2.各小題的結(jié)果和相應(yīng)的被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)有什么關(guān)系？
3.用字母 表示被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)，將有怎樣的結(jié)論？并用語(yǔ)言敘述你的結(jié)論.
答：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8） .
1.（1），（2），（3）各題中的被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)都是正數(shù)；（4），（5），（6），（7）各題中的被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)都是負(fù)數(shù)；（8）題被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)是0.
2.（1），（2），（3），（8）各題的計(jì)算結(jié)果和相應(yīng)的被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計(jì)算結(jié)果和相應(yīng)的被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)分別互為相反數(shù).
3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ），
用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開(kāi)方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ）.
一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根，等于這個(gè)非負(fù)數(shù)本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根，等于這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù).
問(wèn)：請(qǐng)把上述討論結(jié)論，用一個(gè)式子表示.（注意表示條件和結(jié)論）
答：
請(qǐng)同學(xué)回憶實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的代數(shù)意義，它和上述二次根式的性質(zhì)有什么聯(lián)系？
答：
填空：
1.當(dāng) _________時(shí)， ；
2.當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ；
3.若 ，則 ________；
4.當(dāng) 時(shí)， .
答：
1.當(dāng) 時(shí)， ；
2.當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ；
3.若 ，則 ；
4.當(dāng) 時(shí)， .
例1 化簡(jiǎn) （ ）.
分析：可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).
解 ，因?yàn)?，所以 ，所以
.
指出：在化簡(jiǎn)和運(yùn)算過(guò)程中，把 先寫(xiě)成 ，再根據(jù)已知條件中 的取值范圍，確定其結(jié)果.
例2 化簡(jiǎn) （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時(shí)， .
解 .
例3 化簡(jiǎn)：（1） （ ）； （2） （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時(shí)， .
解 （1） .
（2） .
注意：（1）題中的被開(kāi)方數(shù) ，因?yàn)?，所以 .
（2）題中的被開(kāi)方數(shù) ，因?yàn)?，所以 .
這里 的取值范圍，在已知條件中沒(méi)有直接給出，但可以由已知條件分析而得出.
例4 化簡(jiǎn) .
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有
.
所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號(hào)，然后再進(jìn)行化簡(jiǎn).
解 因?yàn)?， ，所以
， .
所以
.
三、課堂練習(xí)
1.求下列各式的值：
（1） ； （2） .
2.化簡(jiǎn)：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）.
3.化簡(jiǎn)：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） （ ）.
答案：
1.（1）0.1； （2） .
2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
3.（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1.
四、小結(jié)
1.二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實(shí)數(shù).
2.化簡(jiǎn)形如 的二次根式，首先可把 寫(xiě)成 的形式，再根據(jù)已知條件中字母 的取值范圍，確定其結(jié)果.
3.在化簡(jiǎn)中，注意運(yùn)用題設(shè)中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開(kāi)方 ，這是隱含條件.
五、作業(yè)
1.化簡(jiǎn)：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）；
（5） ； （6） （ ， ）；
（7） （ ）.
2.化簡(jiǎn)：
（1） ；
（2） （ ）；
（3） （ ， ）.
答案：
1.（1）－30； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ； （7） .
2.（1）2； （2）0； （3） .