平行線等分線段定理

教學建議

1.

定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等.

注意事項：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組；它是由三條或三條以上的平行線組成.

定理的作用：可以用來證明同一直線上的線段相等；可以等分線段.

2.的推論

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

記憶方法：“中點”＋“平行”得“中點”.

推論的用途：（1）平分已知線段；（2）證明線段的倍分.

重難點分析

本節的重點是.因為它不僅是推證三角形、梯形中位線定理的基礎，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎.

本節的難點也是.由于學生初次接觸到，在認識和理解上有一定的難度，在加上的兩個推論以及各種變式，學生難免會有應接不暇的感覺，往往會有感覺新鮮有趣但掌握不深的情況發生，教師在教學中要加以注意.

教法建議

的引入

生活中有許多的例子，并不陌生，的引入可從下面幾個角度考慮：

①從生活實例引入，如刻度尺、作業 本、柵欄、等等；

②可用問題式引入，開始時設計一系列與概念相關的問題由學生進行思考、研究，然后給出和推論.

教學設計示例

一、教學目標

1. 使學生掌握及推論.

2. 能夠利用任意等分一條已知線段，進一步培養學生的作圖能力.

3. 通過定理的變式圖形，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.

4. 通過本節學習，體會圖形語言和符號語言的和諧美

二、教法設計

學生觀察發現、討論研究，教師引導分析

三、重點、難點

1.教學重點：

2.教學難點：

四、課時安排

l課時

五、教具學具

計算機、投影儀、膠片、常用畫圖工具

六、師生互動活動設計

教師復習引入，學生畫圖探索；師生共同歸納結論；教師示范作圖，學生板演練習

七、教學步驟

【復習提問】

1.什么叫平行線？平行線有什么性質.

2.什么叫平行四邊形？平行四邊形有什么性質？

【引入新課】

由學生動手做一實驗：每個同學拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關系？（橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的），然后在橫格紙上畫一條垂直于橫線的直線 ，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關系？（相等，為什么？）這時在橫格紙上再任畫一條與橫線相交的直線 ，測量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等？

（引導學生把做實驗的條件和得到的結論寫成一個命題，教師總結，由此得到）

：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點必須使學生明確.

下面我們以三條平行線為例來證明這個定理（由學生口述已知，求證）.

已知：如圖，直線 ， .

求證： .

分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形（也可應用平行線間的平行線段相等得 ），通過全等三角形性質，即可得到要證的結論.

（引導學生找出另一種證法）

分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識即可證得 .

證明：過 點作 分別交 、 于點 、 ，得 和 ，如圖.

∴

∵ ，

∴

又∵ ， ，

∴

∴

為使學生對定理加深理解和掌握，把知識學活，可讓學生認識幾種定理的變式圖形，如圖（用計算機動態演示）.

引導學生觀察下圖，在梯形 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論 1.

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

再引導學生觀察下圖，在 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論2.

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計算中經常用到，因此，要求學生必須掌握好.

接下來講如何利用來任意等分一條線段.

例  已知：如圖，線段 .

求作：線段 的五等分點.

作法：①作射線 .

②在射線 上以任意長順次截取 .

③連結 .

④過點 . 、 、 分別作 的平行線 、 、 、 ，分別交 于點 、 、 、 .

  、 、 、 就是所求的五等分點.

（說明略，由學生口述即可）

【總結、擴展】

小結：

（l）及推論.

（2）定理的證明只取三條平行線，是在較簡單的情況下證明的，對于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明.

（3）定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組.

（4）應用定理任意等分一條線段.

八、布置作業 

教材P188中A組2、9

九、板書設計

十、隨堂練習

教材P182中1、2