數學教案－完全平方公式
課題：完全平方公式
一、教材分析：
（一）教材的地位與作用
本節內容主要研究的是完全平方公式的推導和公式在整式乘法中的應用。它是在學生學習了代數式的概念、整式的加減法、冪的運算和整式的乘法后進行學習的，其地位和作用主要體現在以下幾方面：
（1）整式是初中代數研究范圍內的一塊重要內容，整式的運算又是整式中一大主干，乘法公式則是在學習了單項式乘法、多項式乘法之后來進行學習的；一方面是對多項式乘法中出現的較為特殊的算式的一種歸納、總結；另一方面，乘法公式的推導是初中代數中運用推理方法進行代數式恒等變形的開端，通過乘法公式的學習對簡化某些整式的運算、培養學生的求簡意識有較大好處。
（2）乘法公式是后續學習的必備基礎，不僅對學生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以后學習因式分解、分式運算的重要基礎，同時也具有培養學生逐漸養成嚴密的邏輯推理能力的功能。
（3）公式的發現與驗證給學生體驗規律發現的基本方法和基本過程提供了很好模式。
（二）教學目標 的確定
在素質背景下的數學教學應以學生的發展為本，學生的能力培養為重，尤其是創新、創造能力，以及培養學生良好的個性品質等。根據以上指導思想，同時參照義務教育階段《數學課程標準》的要求，確定本節課的教學目標 如下：
1、知識目標：
理解公式的推導過程，了解公式的幾何背景，會應用公式進行簡單的計算。
2、能力目標：
滲透建模、化歸、換元、數形結合等思想方法，培養學生的發現能力、求簡意識、應用意識、解決問題的能力和創新能力。
3、情感目標：
培養學生敢于挑戰，勇于探索的精神和善于觀察，大膽創新的思維品質。
（三）教學重點與難點
完全平方公式和平方差公式一樣是主要的乘法公式，其本質是多項式乘法，是學生今后用于計算的一種重要依據，因此，本節教學的重點與難點如下：
本節的重點是體會公式的發現和推導過程，理解公式的本質，并會運用公式進行簡單的計算。
本節的難點是從廣泛意義上理解公式中的字母含義，判明要計算的代數式是哪兩數的和（差）的平方。
二、教學方法與手段
（一）教學方法：
針對初一學生的形象思維大于抽象思維，注意力不能持久等年齡特點，及本節課實際，采用自主探索，啟發引導，合作交流展開教學，引導學生主動地進行觀察、猜測、驗證和交流。同時考慮到學生的認知方式、思維水平和學習能力的差異進行分層次教學，讓不同層次的學生都能主動參與并都能得到充分的發展。邊啟發，邊探索邊歸納，突出以學生為主體的探索性學習活動和因材施教原則，教師努力為學生的探索性學習創造知識環境和氛圍，遵循知識產生過程，從特殊→一般→特殊，將所學的知識用于實踐中。
采用小組討論，大組競賽等多種形式激發學習興趣。
（二）教學手段：
利用投影儀輔助教學，突破教學難點 ，公式的推導變成生動、形象、直觀，提高教學效率。
（三）學法指導：
在學法上，教師應引導學生積極思維，鼓勵學生進行合作學習，讓每個學生都動口、動手、動腦，自己歸納出運算法則，培養學生學習的主動性和積極性。
三、教材處理
根據本節內容特點，本著循序漸進的原則，我將以“邊長為(a+b)的正方形面積是多少？”這個實際問題引入新課，關于兩數和的平方公式通過實例、推導、驗證幾個步驟完成。關于兩數差的平方公式，我將為學生提供三種不同的思路，由學生自己選擇學習、理解，然后再歸納的方法進行，再通過分層次練習，加以鞏固。
四、教學程序
教 學 過 程 | 設計意圖 |
一、 如圖，有一個邊長為a米的正方形廣場，則這個廣場的面積是多少？ a
若在這個廣場的相鄰兩邊鋪一條寬為10米的道路，則面積是多少？ a 10
引導學生利用圖形分割求面積。
另一方面：正方形 10 10a 102 面積為(a+10)2, 所以： (a+10)2=a2+20a+102 a a2 10a
a 10
b ab b2 把10替換為b, (a+b)2=a2+2ab+b2 a a2 ab 提出課題
a b
| 通過較為簡單的幾何圖形面積計算和較熟悉的整式乖法計算。引入本節學習內容(a+b)·(a+b) （根據初一學生年齡特點，采用圖形變化來激發學生學習興趣）
問題是知識、能力的生長點，通過富有實際意義的問題能激活學生原有認知，促使學生主動地進行探索和思考。
對公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式進行初步認識，接觸 |
教 學 過 程 | 設計意圖 |
二、交流對話，探求新知 1、推導兩數和的完全平方公式 計算(a+b)2 解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
2、理解公式特征 ①算式：兩數和的平方 ②積：兩個數的平方和加上這兩個數積的2倍
3、語言敘述 (a+b)2=a2+2ab+b2用語言如何敘述
4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教學 ①利用多項式乘法 (a-b)2=(a-b)(a-b) ②利用換元思想 (a-b)2=[a+(-b)]2 ③利用圖形 b a
(a-b) b a 5、學生總結、歸納： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 這兩個公式叫做完全平方公式，兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和，加上（或減去）這兩數積的2倍。
6、公式中的字母含義的理解。（學生回答） (x+2y)2是哪兩個數的和的平方？ (x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2 (2x-5y)2是哪兩個數的差的平方？ (2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2 變式 (2x-5y)2可以看成是哪兩個數的和的平方？ | 利用多項式乘法推導公式，使學生了解公式的來源以及理解乘法公式的本質。
組織學生小組討論，使學生明確公式特征，加深對公式表象的理解。
由學生對公式 (a+b)2=a2+2ab+b2進行口頭語言敘述。
(1)說明：教師提供三種模式，由學生選擇一種去解決。培養學生學習的主動性，開闊學生的思路。(2)同時對滲透數形結合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節的難點的第一個層次；(3)體會辯證統一的唯物主義觀點；(4)正確引導學生學習時知識的正遷移。
使學生學會對公式的正確表述，有利于學生正確用于計算之中，此時也可以讓學生對兩個公式特點進行討論歸納，適當總結一定的口訣：“頭平方，尾平方，兩倍的乘積中間放。”
加深學生對公式中的字母含義的理解，明確字母意義的廣泛性
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教 學 過 程 | 設計意圖 |
三、整理新知形成結構 1、完全平方公式并分析公式左右的特征。 2、換元的基本想法 四、應用新知，體驗成功 1、例1教學：用完全平方公式計算 (1)(a+3)2 (2)(y- 學生直接運用公式計算，教師板演，講評時邊口述理由,針對第(4)題(-3x-4y)2可以看成是-3x與4y差的平方，也可以看成-3x與-4y和的平方 提出以下問題： （1）可否看成兩數和的平方，運用兩數和的平方公式來計算？ （2）可否看成兩數差的平方，運用兩數差的平方公式來計算？ （3）能不能進行符號轉化？如(-3x-4y)2=(3x+4y)2 2、公式鞏固 （1）同桌同學互相編一道用完全平方公式計算題目，然后解答。 （2）下列各式的計算，錯在哪里？應怎樣改正？ ①(a+b)2=a2+b2 ②(a-b)2=a2-b2 ③(a-2b)2=a2+2ab+2b2 3、練習：運用完全平方公式計算：(學生板演) ①(a+5)2 ②(3+x)2 ③(y-2)2 ④(7-y)2 ⑤(2x+3y)2⑥(-2x-3y)2 ⑦(3- )2 ⑧(- - )2 4、例2，運用完全平方公式計算：(1)1012 (2)982
5、練習：運用完全平方公式計算 (1)912 (2)7982 (3)(10 )2
6、討論：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何計算
五、公式拓展，鼓勵探究 1、a2+b2=(a+b)2-______ a2+b2+ _______=(a+b)2 a2+b2+ ________ =(a-b)2 2、(a+b)2-(a-b)2=______ 3、(a+b+c)2=________
4、提出思考題：(a+b)3=? (a+b)4=? 5、已知 求 的值。 6、已知： ，求 ， 的值。 6. 已知 ，求x和y的值。 | (1)遵循及時鞏固原則。(2)針對初一學生注意力不能持久的特點。(3)形成知識網絡，有利于學生進一步學習公式的運用
(1)直接運用公式進行計算。(2)進一步幫助學生掌握換元法。(3)進行符號轉化的變換，加深學生對公式理解的深度，也為進一步學習其它知識打好基礎。
對這幾個式子的辨析目的在于防止學生對以前學過的如(ab)2=a2b2的公式的負遷移作用 講練結合
(1)合作學習，四人小組討論（教師逐步引導到運用完全平方公式計算）學生講自己解題的想法和步驟，培養語言表達能力。(2)體會公式實際運用作用，增加學習興趣
進一步辨析完全平方公式與平方差公式的區別
公式變形利于各種計算
提出一個問題，引導學生用學習研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展變形問題。如：三項式的平方，兩項式的立方、四次方等，培養學生的嚴謹的治學態度和鉆研精神。 |
教 學 過 程 | 設計意圖 |
六、小結提高，知識升華 1、兩個公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2、兩種推導方法：多項式乘法導出；圖形面積導出 3、換元法與轉化 七、作業 布置，分層落實 1、閱讀教材 6.17內容 2、見省編作業 本 6.17 3、對(a+b)2,(a+b)3 ……的展開式從項數、系數方面進行研究 | 由學生自己小結本節所學知識、方法等。教師根據學生回答情況作出補充。
(1)作業 1主要以培養學習良好的學習習慣為目的。(2)結合學生實際情況，貫徹面向全體學生，因材施教原則。作業 2要求全體學都能完成。作業 3為選做題，部分學有余力的學生可選做。在減輕學生的課業負擔同時，注重人本思想，以學生的能力發展為重。 也能滿足不同層次學生的不同要求。 |
附：板書設計 與時間大致安排
屏 幕 | 課題 公式……例題 |
學生板演 |
本課時的時間大致安排：
引入課題3分鐘左右，探求新知15分鐘左右，整理新知2分鐘左右，應用新知15分鐘左右，公式拓展5分鐘左右，小結作業 布置約5分鐘。
設 計 說 明
本節課的教學設計注重體現以教師為主導、學生為主體，以發展學生為本的思想。遵循初一學生的心理特點（形象思維大于抽象思維）和認知規律（從特殊到一般）。結合學生實際學習情況（已較熟練掌握多項式乘法，并且本節之前也已經學習了平方差公式）進行本課設計的。下面就設計作幾點簡單說明：
1、完全平方公式的本質是多項式乘法，它的推導方法與平方差公式推導方法是一樣的，根據乘方的意義與多項式乘法法則，就可以推導出完全平方公式。因此在兩數和的平方公式推導中，采取先由學生自己計算(a+b)2，然后教師點題的方式，再加上引課時已經由幾何圖形面積的計算得出的結論(a+b)2=a2+2ab+b2，學生是容易接受的。在兩數差的平方公式推導中，更進一步，由學生自主選擇一種模式解決、驗證，增加了數學課堂的開放性。
2、充分發揮學生自主學習、探究的能力。從引入時圖形變換的教師啟發引導，到公式驗證、推導時的學生自主探索，再到學生與學生之間的合作交流學習，都突出了學生是探索性學習活動的主體。在公式拓展中還提出了思考題(a+b)3=？(a+b)4=？……(a+b+c)2=？培養學生嚴謹的治學態度和鉆研探索的精神。同時讓學生明確本節課不僅要學會完全平方公式，更加要學會完全平方公式的推導方法，即授學生以漁，讓學生學會學習。
3、在練習設計與作業 布置中都體現了分層次教學的要求，讓不同層次的學生都能主動的參與并都能得到充分的發展。同時也遵循了面向全體與因材施教相結合的教學原則。
4、充分挖掘本課時教材中的隱含的各種數學思想，在教學中滲透如建模思想、數形結合思想、換元思想、化歸思想，注重培養學生的發現問題、解決問題的能力、求簡意識、應用意識、創新能力等各方面能力。
5、公式(a-b)2=a2-2ab+b2可以作為(a+b)2=a2+2ab+b2的一個應用，這樣兩個公式便統一為一個公式，這樣做有助于學生的記憶和理解，但作為應用，實踐表明還是把它們分開來用的好。因此，教學中在公式(a-b)2=a2-2ab+b2的推導過程就有意識的安排與(a+b)2=a2-2ab+b2統一，但又它與(a+b)2=a2+2ab+b2同等的對待。最后在小結時，對于兩者的聯系再加以說明，讓學生領會到數學中的辯證統一思想。