線段的垂直平分線

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

本節內容的重點是線段垂直平分線定理及其逆定理. 定理反映了線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的依據；逆定理反映了線段垂直平分線的判定，是證明某點在某條直線上及一條直線是已知的依據.

本節內容的難點是定理及逆定理的關系. 垂直平分線定理和其逆定理，題設與結論正好相反. 學生在應用它們的時候，容易混淆，幫助學生認識定理及其逆定理的區別，這是本節的難點.

2、  教法建議

本節課教學模式主要采用“學生主體性學習”的教學模式. 提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，錯誤原因讓學生說，方法與規律讓學生歸納. 教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索，積極思考，大膽想象，總結規律，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人. 具體說明如下：

（1）參與探索發現，領略知識形成過程

學生前面，學習過線段垂直平分線的概念，這樣由復習概念入手，順其自然提出問題：在垂直平分線上任取一點P，它到線段兩端的距離有何關系？學生會很容易得出“相等”. 然后學生完成證明，找一名學生的證明過程，進行投影總結. 最后，由學生將上述問題，用文字的形式進行歸納，即得線段垂直平分線定理. 這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，激發了學生的認識沖突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機會，對定理的產生過程，真正做到心領神會.

（2）采用“類比”的學習方法，獲取逆定理

線段垂直平分線的定理及逆定理的證明都比較簡單，學生學習一般沒有什么困難，這一節的難點仍然的定理及逆定理的關系，為了很好的突破這一難點，教學時采用與角的平分線的性質定理和逆定理對照，類比的方法進行教學，使學生進一步認識這兩個定理的區別和聯系.

(3) 通過問題的解決，讓學生學會從不同角度分析問題、解決問題；讓學生學會引申、變更問題，以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力.

教學目標：

1、知識目標：

（1）掌握的性質定理及其逆定理；

（2）能運用它們證明兩條線段相等或兩條直線互相垂直；

2、能力目標：

（1）通過例題的學習，提高學生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力；

（2）提高綜合運用知識的能力.

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；；

（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.

教學重點：線段垂直平分線定理及其逆定理

教學難點：定理及逆定理的關系 

教學用具：直尺，微機

教學方法：以學生為主體的討論探索法

教學過程：

1、新課背景知識復習

（1）線段垂直平分線的概念

（2）問題：（投影顯示）

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P為CD上任意一點，PA、PB有何關系？為什么？

整個過程，由學生完成. 找一名學生代表回答上述問題并

投影顯示學生的證明過程.

2、定理的獲得

讓學生用文字語言將上述問題表述出來.

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

強調說明：線段垂直平分線性質定理是證明線段相等的一條依據，在計算、作圖中也有重要作用.

學生根據上述學習，提出自己的問題（待定）

學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然后大家共同分析討論.

3、逆定理的獲得

類比角平分線逆定理獲得的過程，讓學生講解下一環節所要學習研究的內容.

這一過程，完全由學生自己通過小組的形式，代表到臺前講解.

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條上.

強調說明：定理與逆定理的聯系與區別

相同點：結構相同、證明方法相同

不同點：用途不同，定理是用來證線段相等

4、定理與逆定理的應用

（1）講解例1（投影例1）

例1 如圖，△ABC中，∠C＝ ，∠A＝ ，AB的在垂線交AC于D，交AB于E

求證：AC＝3CD

證明：∵DE垂直平分AB

∴AD＝BD

∴∠1＝∠A＝

∵

∴∠2＝

∴CD＝ BD

∴CD＝ AD

∴AD＝2CD

即AC＝3CD

講解例2（投影例2 ）

例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直線與AC所在直線相交所得的銳角為 ，求底角B的大小.

（學生思考、分析、討論，教師巡視，適當參與討論）

解：（1）當AB的中垂線MN與AC相交時，如圖（1），

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠A＝ －∠AED＝ － ＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

（2）當的中垂線與的延長線相交時，如圖（2）

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠BAE＝－∠AED＝－＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

例3 （1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A＝ ，求∠NMB的大小

（2）如果將（1）中∠A的度數改為 ，其余條件不變，再求∠NMB的大小

（3）你發現有什么樣的規律性？試證明之.

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改

解：（1）∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠B＝

∵∠BNM＝

∴

（2）如圖，同（1）同理求得

（3）如圖，∠NMB的大小為∠A的一半

5、課堂小結：

(1)線段垂直平分線性質定理和逆定理

(2)在應用時，易忽略直接應用，往往又重新證三角形的全等，使計算或證明復雜化.

6、布置作業 ：

書面作業 P119＃2、3

思考題：已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高

求證：AD垂直平分EF

證明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在線段EF的垂直平分線上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE＝AF

∴A點也在線段EF的垂直平分線上

∵兩點確定一條直線

∴直線AD就是線段EF的垂直平分線

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