第四冊一元二次方程根與系數的關系

一元二次方程根與系數的關系的知識內容主要是以前一單元中的求根公式為基礎的。教材通過一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根x_1、2= 得出一元二次方程根與系數的關系，以及以數x₁、x₂為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個例題介紹了利用根與系數的關系簡化一些計算的知識。例如，求方程中的特定系數，求含有方程根的一些代數式的值等問題，由方程的根確定方程的系數的方法等等。

根與系數的關系也稱為韋達定理（韋達是法國數學家）。韋達定理是初中代數中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學習，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數學中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數的學習研究也是作用非凡。

通過近些年的中考數學試卷的分析可以得出：韋達定理及其應用是各地市中考數學命題的熱點之一。出現的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數、幾何、二次函數等內容綜合起來，形成難度系數較大的壓軸題。

通過韋達定理的教學，可以培養學生的創新意識、創新精神和綜合分析數學問題的能力，也為學生今后學習方程理論打下基礎。

（二）重點、難點

一元二次方程根與系數的關系是重點，讓學生從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關系，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度，是教學的難點。

（三）教學目標 

1、知識目標：要求學生在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系式，能運用根與系數的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數，會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方數，兩根之差。

2、能力目標：通過韋達定理的教學過程 ，使學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程 ，發展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養學生的創新意識和創新精神。

3、情感目標：通過情境教學過程 ，激發學生的求知欲望，培養學生積極學習數學的態度。體驗數學活動中充滿著探索與創造，體驗數學活動中的成功感，建立自信心。

二、設計理念

根據教材內容和本人研究的課題《初中數學問題引探教學實驗研究》，在教學中滲透新課標的精神，注重過程數學，注重創新教學，注重問題意識，關注學生的學習興趣和經驗，讓學生主動參與學習活動，主動探索并獲取知識，教師是組織者、引導者、參與者。

三、教法與學法

（一）教法

1、充分以學生為主體進行教學，讓學生多實踐，從實踐中反思過程，讓學生經歷韋達定理的發生發展過程，并從中體驗成功的樂趣。

2、采用“實踐（練習）——觀察——發現——猜想——證明”的過程教學。引導學生發現問題，師生共同解決問題。

3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。

4、問題引探，啟發誘導，進行創新教學。

（二）學法指導

1、引導學生實踐、觀察、發現問題、猜想并推理。

2、指導學生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。

3、指導學生熟練掌握根與系數的關系，并將應用問題和規律歸類。

四、課時劃分及教學過程 

（一）課時劃分

共分3課時

第一課時

1、根與系數的關系。

2、根與系數的關系的應用。

（1）求已知方程的兩根的平方和、倒數和、兩根差。

第二課時

1、已知兩數求作新方程。

2、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。

第三課時

方程判別式、根與系數的關系的綜合應用。

第一課時    一元二次方程根與系數的關系（1）

一、教學目標 

1、理解掌握一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根x₁，x₂與系數a、b、c之間的關系。

2、能根據根與系數的關系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數。

3、會求已知方程的兩根的倒數和與平方和、兩根的差。

4、在推導過程中，培養學生“觀察——發現——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。

二、重難點

根與系數的關系是重點，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項系數除以二次項系數的相反數中的符號是學生理解和掌握的難點。

三、教學過程 

（一）問題引探

問題1.在方程ax²+bx+c=0中，a的取值決定什么？b²-4ac的取值呢？同學們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax²+bx+c=0的根還有其它關系？今天我們進一步研究一元二次方程的這種關系。

問題2.解方程x²-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發現什么結論（現象）？

問題3.解下列方程：

（1）2x²+5x+3=0                              （2）3x²-2x-2=0

并根據問題2和以上的求解填寫下表

請觀察上表，你能發現兩根之和、兩根之積與方程的系數之間有什么關系嗎？

問題4.請根據以上的觀察發現進一步猜想：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根x₁，x₂與a、b、c之間的關系：____________.

問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。

分小組討論以上的問題，并作出推理證明。

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁=，x₂= ,  則

x₁+x₂= + = ;

x₁ x₂= · =  

        =

即：如果ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=   ，x₁x₂= 。

由此得出一元二次方程的根與系數的關系；還可以讓學生用自己的語言表述這種關系，來加深理解和記憶。

這個關系是一個法國數學家韋達發現的，所以也稱之為韋達定理。

問題6.在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導學生反思性小結）

①二次項系數a是否為零，決定著方程是否為二次方程；

②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數；

③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況；

④當a≠0，b²-4ac≥0時，x₁+x₂=   ，x₁x₂= 

⑤當a≠0，c=0時，方程有一根為0。

說明：1、本設計采用“實踐——觀察——發現——猜想——證明”的過程，使學生既動手又動腦，且又動口，教師引導啟發，避免注入式地講授一元二次方程根與系數的關系，體現學生的主體學習特性，培養了學生的創新意識和創新精神。

2、本設計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認識上升到理性認識）的認知規律。

3、本設計注重了學生的反思過程，使學生將知識系統化、格式化。

（二）嘗試發展

試一試：根據根與系數的關系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x₁，x₂、k是常數）

（1）2x²-3x+1=0      x₁+x₂=________      x₁x₂=_________            

（2）3x²+5x=0        x₁+x₂=________      x₁x₂=__________            

（3）5x²+x-2=0       x₁+x₂=_________     x₁x₂=__________           

（4）5x²+kx-6=0      x₁+x₂=_________     x₁x₂=__________            

（此試一試作為鞏固知識而用）

嘗試題1、已知方程6x²+kx-5=0的一個根為，求它的另一個根及k的值。

組織學生自己分析解決，然后一學生演板，其余學生在草稿本上練習。

學生練習：P₃₂ 2。

嘗試題2、利用根與系數的關系，求一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數和。

討論：解上面問題的思路是什么？

得出：x₁²+ x₂²=( x₁+x₂)²-2 x₁x_{2;    .}(將平方和、倒數和轉化為兩根和與積的代數式)

（三）拓展創新

1、在嘗試2中能否求（x₁－x₂）的值？2、已知實數滿足關系式a²-5a+6=0，b²-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b與ab的值？

說明：1、“試一試”是引導學生及時鞏固本節所學的新知“根與系數的關系”，其中第（3）小題是培養學生思維嚴謹性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設計。

2、嘗試題1、2讓學生討論完成或獨立完成，可以看書完成，其系數與例題有別。

3、“拓展創新”中是培養學生思維的發散性教學設計，也是開放性教學，使有的學生的奇異思維得到發展。

（四）歸納小結本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數決定的。2、a≠0時，方程ax²+bx+c=0是一元二次方程。3、a≠0，且b2-4ac≥0時，方程ax²+bx+c=0的根為x_1、2= 4、b²-4ac的值可判定根的情況。5、a≠0，△≥0時，x₁+x₂=，x₁x₂=      。6、方程根與系數關系的有關應用。

（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關代數式的值。

（五）布置作業 

P₃₃A 1、2  B  1（1）

練習：1.已知三角形的兩邊長a、b是方程x²-kx+12=0的兩個，等腰三角形的另一條邊c=4,求這個等腰三角形的周長。

2、已知關于x的方程x²－2mx+ m²=0.其中分別是一個等腰三角形的腰和底邊的長.

（1）         求征這個方程有兩個不相等實數根.

（2）         若方程的兩個實數根差的絕對值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個三角形的內切圓的面積.

3、 已知二次函數y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的圖象都經過x軸上兩個不同的點 ,求這兩個函數的解析式.