第四冊一元二次方程實數根錯例剖析課

【教學目的】  精選學生在解一元二次方程有關問題時出現的典型錯例加以剖析，幫助學生找出產生錯誤的原因和糾正錯誤的方法，使學生在解題時少犯錯誤，從而培養學生思維的批判性和深刻性。

【課前練習】

1、關于x的方程ax²+bx+c=0，當a_____時，方程為一元一次方程；當 a_____時，方程為一元二次方程。

2、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______，當△_______時，方程有兩個相等的實數根，當△_______時，方程有兩個不相等的實數根，當△________時，方程沒有實數根。

【典型例題】               

例1   下列方程中兩實數根之和為2的方程是（）

(A)   x²+2x+3＝0     (B) x²-2x+3＝0    (c)  x²-2x-3＝0      (D)  x²+2x+3＝0

錯答： B

正解： C

錯因剖析：由根與系數的關系得x₁+x₂＝2，極易誤選B，又考慮到方程有實數根，故由△可知，方程B無實數根，方程C合適。

例2   若關于x的方程x²+2(k+2)x+k²＝0  兩個實數根之和大于-4，則k的取值范圍是（     ）

(A)   k＞-1     (B)  k＜0    (c) -1＜ k＜0    (D) -1≤k＜0

錯解 ：B

正解：D

錯因剖析：漏掉了方程有實數根的前提是△≥0

例3（2000廣西中考題） 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x²-2 x-1＝0有兩個不相等的實根，求k的取值范圍。

錯解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

圍是 -1≤k＜2

錯因剖析：漏掉了二次項系數1-2k≠0這個前提。事實上，當1-2k＝0即k＝ 時，原方程變為一次方程，不可能有兩個實根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4             （2002山東太原中考題） 已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的兩個實數根，當x₁²+x₂²=15時，求m的值。

錯解：由根與系數的關系得

       x₁+x₂＝ -（2m+1）,    x₁x₂＝m²+1,

      ∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

             ＝[-（2m+1）]²-2（m²+1）

             ＝2 m²+4 m-1

      又∵ x₁²+x₂²=15

      ∴ 2 m²+4 m-1=15

      ∴ m₁ ＝ -4   m₂ ＝ 2

錯因剖析：漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m ＝ -4時，方程為x²-7x+17＝0，此時△＝（-7）²-4×17×1＝  -19＜0，方程無實數根，不符合題意。

正解：m ＝ 2

例5   若關于 x的方程(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0有實數根，求m的取值范圍。

錯解：△＝[-2(m+2)]²-4(m²-1) ＝16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0，

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m²-1≠0，

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

錯因剖析：此題只說(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0是關于未知數x的方程，而未限定方程的次數，所以在解題時就必須考慮m²-1＝0和m²-1≠0兩種情況。當m²-1＝0時，即m＝±1時，方程變為一元一次方程，仍有實數根。

正解：m的取值范圍是m≥-  

例6  已知二次方程x²+3 x+a＝0有整數根，a是非負數，求方程的整數根。

錯解：∵方程有整數根，

∴△＝9-4a＞0，則a＜2.25

又∵a是非負數，∴a＝1或a＝2

令a＝1，則x＝ -3± ，舍去；令a＝2，則x₁＝ -1、 x₂＝ -2

∴方程的整數根是x₁＝ -1， x₂＝ -2

錯因剖析：概念模糊。非負整數應包括零和正整數。上面答案僅是一部分，當a＝0時，還可以求出方程的另兩個整數根，x₃＝0， x₄＝ -3

正解：方程的整數根是x₁＝ -1， x₂＝ -2 ，  x₃＝0， x₄＝ -3

【練習】

練習1、（01濟南中考題）已知關于x的方程k²x²+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂。（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由。

解：（1）根據題意，得△＝(2k-1)²-4 k²＞0      解得k＜

∴當k＜ 時，方程有兩個不相等的實數根。

（2）存在。如果方程的兩實數根x₁、x₂互為相反數，則x₁+ x₂=- =0，

 解得k＝ 。經檢驗k＝ 是方程- 的解。

∴當k＝ 時，方程的兩實數根x₁、x₂互為相反數。

讀了上面的解題過程，請判斷是否有錯誤？如果有，請指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。

解：上面解法錯在如下兩個方面：

（1）漏掉k≠0，正確答案為：當k＜ 時且k≠0時，方程有兩個不相等的實數根。

（2）k＝ 。不滿足△＞0，正確答案為：不存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數

練習2（02廣州市）當a取什么值時，關于未知數x的方程ax²+4x-1＝0只有正實數根 ?

解：（1）當a＝0時，方程為4x-1＝0，∴x＝

（2）當a≠0時，∵△＝16+4a≥0   ∴a≥ -4

∴當a≥ -4且a≠0時，方程有實數根。

又因為方程只有正實數根，設為x₁，x₂，則：

x₁+x₂＝- ＞0 ；

x₁. x₂＝- ＞0      解得 ：a＜0

綜上所述，當a＝0、a≥ -4、a＜0時，即當-4≤a≤0時，原方程只有正實數根。

【小結】 以上數例，說明我們在求解有關二次方程的問題時，往往急于尋求結論而忽視了實數根的存在與“△”之間的關系。

1、運用根的判別式時，若二次項系數為字母，要注意字母不為零的條件。

2、運用根與系數關系時，△≥0是前提條件。

3、條件多面時（如例5、例6）考慮要周全。

【布置作業 】  

1、當m為何值時，關于x的方程x²+2（m-1）x+ m²-9＝0有兩個正根？

2、已知，關于x的方程mx²-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）沒有實數根。求證：關于x的方程

（m-5）x²-2（m+2）x + m＝0一定有一個或兩個實數根。

考題匯編

1、（2000年廣東省中考題）設x₁、 x₂是方程x²-5x+3＝0的兩個根，不解方程，利用根與系數的關系，求（x₁-x₂）²的值。

2、（2001年廣東省中考題）已知關于x的方程x^2-2x+m-1＝0

（1）若方程的一個根為1，求m的值。

（2）m＝5時，原方程是否有實數根，如果有，求出它的實數根；如果沒有，請說明理由。

3、（2002年廣東省中考題）已知關于x的方程x²+2（m-2）x+ m²＝0有兩個實數根，且兩根的平方和比兩根的積大33，求m的值。

4、（2003年廣東省中考題）已知x₁、x₂為方程x²+px+q＝0的兩個根，且x₁+x₂＝6，x₁²+x₂²＝20，求p和q的值。