等腰三角形的性質(zhì)

知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)與難點(diǎn)分析：

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是及其推論。等腰三角形兩底角相等（等邊對(duì)等角）是證明同一三角形中兩角相等的重要依據(jù)；而在推論中提到的等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一這條重要性質(zhì)也是證明兩線段相等，兩個(gè)角相等及兩直線互相垂直的重要依據(jù)。為證明線段相等，角相等或垂直平提供了方法，在選擇時(shí)注意靈活運(yùn)用。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是文字題的證明。對(duì)文字題的證明，首先分析出命題的題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合題意畫出草圖形，然后根據(jù)圖形寫出已知、求證，做到不重不漏，從而轉(zhuǎn)化為一般證明題。這些環(huán)節(jié)是學(xué)生感到困難的。

教法建議：

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”.根據(jù)這一指導(dǎo)思想，本節(jié)課教學(xué)可通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題鏈，激發(fā)學(xué)生的求知欲，最終在老師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，本課教學(xué)擬用啟發(fā)式問題教學(xué)法.具體說明如下：

（1）發(fā)現(xiàn)問題

本節(jié)課開始，先投影顯示圖形及問題，讓學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)結(jié)論。提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和要求.

（2）解決問題

對(duì)所得到的結(jié)論通過教師啟發(fā)，讓學(xué)生完成證明.指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，從而順其自然得到本節(jié)課的一個(gè)定理及其兩個(gè)推論. 多讓學(xué)生親自實(shí)踐，參與探索發(fā)現(xiàn)，領(lǐng)略知識(shí)形成過程，這是課堂教學(xué)的基本思想和教學(xué)理念.

（3）加深理解

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是對(duì)知識(shí)的消化和理解的過程，通過例題的解決，提高和完善對(duì)定理及其推論理解。這一過程采用講練結(jié)合、適時(shí)點(diǎn)撥的教學(xué)方法，把學(xué)生的注意力緊緊吸引在解決問題身上，讓學(xué)生的思維活動(dòng)在老師的引導(dǎo)下層層展開，讓學(xué)生大膽參與課堂教學(xué)，使他們“聽”有所“思”、“練”有所“獲”，使傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力融為一體。一.教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握定理的證明及這個(gè)定理的兩個(gè)推論；

2.會(huì)運(yùn)用證明線段相等；

3.使學(xué)生掌握一般文字題的證明;

4.通過文字題的證明，提高學(xué)生幾何三種語言的互譯能力；

5.逐步培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及分析實(shí)際問題解決問題的能力;

6.滲透對(duì)稱的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的觀點(diǎn)；

二.教學(xué)重點(diǎn)：及其推論

三.教學(xué)難點(diǎn)：文字題的證明

四.教學(xué)用具：直尺，微機(jī)

五.教學(xué)方法：問題探究法

六.教學(xué)過程：

1、  性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明

(1)投影顯示：

一般學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等（若有其它發(fā)現(xiàn)也要給予肯定），

(2)提醒學(xué)生：憑觀察作出的判斷準(zhǔn)確嗎？怎樣證明你的判斷？

師生討論后，確定用全等三角形證明，學(xué)生親自動(dòng)手作出證明.證明略.

教師指出：定理提示了三角形邊與角的轉(zhuǎn)化關(guān)系，由兩邊相等轉(zhuǎn)化為兩角相等，這是今后證明兩角相等常用的依據(jù)，其功效不亞于利用全等三角形證明兩角相等.

2、推論1的發(fā)現(xiàn)與證明

投影顯示：

由學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.

啟發(fā)學(xué)生自己歸納得出：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

學(xué)生口述證明過程.

教師指出：等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線、底邊上的高這“三線合一”的性質(zhì)有多重功能，可以證明兩線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線的互相垂直，也可證線段成角的倍分問題。

3、推論2的發(fā)現(xiàn)與證明

投影顯示：

一般學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都為 .然后啟發(fā)學(xué)生與等腰三角形的“三線合一”作類比，自己得出等邊三角形的“三線合一”.

4、定理及其推論的應(yīng)用

解：（1） （2）另外兩內(nèi)角分別為： （3）

小結(jié)：滲透分類思想，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

例2、已知：如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE

求證：BD＝CE

證明：作AF⊥BC，，垂足為F，則AF⊥DE

∵AB＝AC，AD＝AE（已知）

AF⊥BC，AF⊥DE（輔助線作法）

∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）

∴BD＝CE

強(qiáng)調(diào)說明：等腰三角形中的“三線合一”常常作為解決等腰三角形問題的輔助線，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作頂角的平分線，有時(shí)作底邊中線，有時(shí)作底邊的高，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)卻不能，還要根據(jù)實(shí)際情況來定.

例3、已知：如圖，D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DB＝DA，BP＝AB， DBP＝ DBC

求證： P＝

證明：連結(jié)OC

在△BPD和△BCD中

在△ADC和△BCD中

因此， P＝

例4 求證：等腰三角形兩腰上中線的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等

已知：如圖，AB＝AC，BD、CE分別為AC邊、AB邊的中線，它們相交于F點(diǎn)

求證：BF＝CF

證明：∵BD、CE是△ABC的兩條中線，AB＝AC

∴AD＝AE，BE＝CD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴ 1＝ 2
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED
∴BF＝FC

設(shè)想：例1到例4，由易到難地安排學(xué)生對(duì)新授內(nèi)容的練習(xí)和鞏固.在以上教學(xué)中，特別注意“一般解題方法”的運(yùn)用.

在四個(gè)例題的教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生與學(xué)生之間的互補(bǔ)性，從而提高認(rèn)識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使課堂成為學(xué)生發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性的“學(xué)堂”

5、反饋練習(xí):

出示圖形及題目：

將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力。

6、課堂小結(jié)：

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)

（1）、

（2）、等邊三角形的性質(zhì)

（3）、文字證明題的書寫步驟

7、布置作業(yè) ：

a、  書面作業(yè) P96＃1、2

b、  上交作業(yè) P96＃4、7、8

c、  思考題：

已知：如圖：在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，∠AEF＝∠AFE.

求證：EF⊥BC

證明 ： 作BC邊上的高AM，M為垂足

∵AM⊥BC

∴∠BAM=∠CAM

又∵∠BAC為△AEF的外角

∴∠BAC =∠E+∠EFA

即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA

∵∠AEF=∠AFE

∴∠CAM=∠E

∴EF∥AM

∵AM⊥BC

∴EF⊥BC

七.板書設(shè)計(jì)：