正方形 啟發式教學示例

教學建議

根據本節內容的特點和與平行四邊形的關系，建議教師在教學過程中注意以下問題：

1.正方形的知識，學生在小學時接觸過一些，可由小學學過的知識作為引入。

2.正方形在現實中的實例較多，在講解正方形的性質和判定時，教師可自行準備或由學生準備一些生活實例來進行判別應用了哪些性質和判定，既增加了學生的參與感又鞏固了所學的知識.

3. 如果條件允許，教師在講授這節內容前，可指導學生按照教材145頁圖4-30所示，制作一個平行四邊形作為教學過程中的道具，既增強了學生的動手能力和參與感，有在教學中有切實的體例，使學生對知識的掌握更輕松些.

4. 在對性質的講解中，教師可將學生分成若干組，每個學生分別對事先準備后的圖形進行邊、角、對角線的測量，然后在組內進行整理、歸納.

5. 由于正方形的性質定理證明比較簡單，教師可引導學生分析思路，由學生來進行具體的證明.

6.在正方形性質應用講解中，為便于理解掌握，教師要注意題目的層次安排。

教學引入

師：前面我們已經學習過平行四邊形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質，同時又都具有各自獨特的性質。

師：現在我們來學習一種新的特殊的平行四邊形----正方形。

講授新課

師：正方形我們在小學就已經接觸過，首先我們來看正方形的定義。

動畫演示：

場景一：正方形定義

師：正方形的定義我們可以分成倆部分來理解：

（1）       有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

（2）       有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。

師：根據這兩部分我們會想起什么？

[學生活動：積極思考，回想學過定義，大部分學生會想起矩形和菱形，小聲議論甚至搶答。]

生：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，（1）說的是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，（2）說的是菱形。

生：正方形既是矩形又是菱形。

生：正方形還是平行四邊形。

師：大家想得都不錯。正方形既是矩形又是菱形，根據定義，他還是平行四邊形。

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形。

動畫演示：

場景二：正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系

師：正方形、平行四邊形、矩形、菱形他們之間的關系還可以用圖1來表示：

圖1

師：請同學們回想一下，我們在學習矩形、菱形時，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質，同時又都具有各自獨特的性質。

師：那么，根據正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系，正方形應具有什么樣的性質？

[學生活動：回憶矩形、菱形的性質，并逐個驗證在正方形上。]

師在學生活動時要注意觀察學生的情況，有疑惑時要注意及時反饋。

師：我們來歸納總結正方形的性質。

動畫演示：

場景三：矩形的性質

場景四：菱形的性質

¿場景五：正方形的性質

例題講解

例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE

分析：據已知條件畫出圖形，如圖2所示，要證明線段相等，與圖形可以證明二個三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC.

證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

圖2

說明：應用正方形的性質，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質的應用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結論完全相同，證法是可以借鑒的。

鞏固練習

鞏固練習題目可有教師根據學生情況自主選擇。

講解新課

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系，怎么判定一個矩形是正方形？

生：證一組鄰邊相等。

師：怎么判定一個菱形是正方形？

生：證有一個角是直角。

師：怎么判定一個平行四邊形是正方形？

生：根據定義，證有一組鄰邊相等且有一個角是直角。

師：那么，剛才的結論如果用圖來表示，是不是如圖3所示？

師：圖3表現出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系把圖3補全？

[學生活動：積極思考，部分學生疑惑不解。]

師點取上等學生回答問題，根據回答得圖4。

生恍然大悟。

學生思路得到啟發，中上等及上等學生意猶未盡，鼓勵他們根據矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡單示例。

就勢跟進，要求學生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對角線條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡單圖例，并說出相應證明思路。

為進一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個問題：

(3)對角線相等的菱形是正方形嗎？

(4)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？

(5)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？

(6)能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”

(7)四個角都相等的四邊形是正方形嗎？

小結：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學會具體分析，規定條件和隱含條件不外乎邊、角、對角線，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學會去分析。

動畫演示：

場景六：正方形的判定

F例題講解

例2  如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點，DE、CF相交于M，

求證：AD=AM。

分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關的等腰三角形？只需延長CF、DA交于N，即可出現直角三角形MND，只要證明A是ND中點即可。這是是否發現△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，從而A是ND中點，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。

證明：略。

說明：將此題中的中點E、F進行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個變化后的圖形在正方形中常常出現，要注意隱含的這個垂直條件。

課堂練習題及課后作業 可由教師根據學生情況自主選擇。