線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

1、教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理及其逆定理. 定理反映了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，是證明兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)；逆定理反映了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，是證明某點(diǎn)在某條直線(xiàn)上及一條直線(xiàn)是已知的依據(jù).

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是定理及逆定理的關(guān)系. 垂直平分線(xiàn)定理和其逆定理，題設(shè)與結(jié)論正好相反. 學(xué)生在應(yīng)用它們的時(shí)候，容易混淆，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)定理及其逆定理的區(qū)別，這是本節(jié)的難點(diǎn).

2、  教法建議

本節(jié)課教學(xué)模式主要采用“學(xué)生主體性學(xué)習(xí)”的教學(xué)模式. 提出問(wèn)題讓學(xué)生想，設(shè)計(jì)問(wèn)題讓學(xué)生做，錯(cuò)誤原因讓學(xué)生說(shuō)，方法與規(guī)律讓學(xué)生歸納. 教師的作用在于組織、點(diǎn)撥、引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探索，積極思考，大膽想象，總結(jié)規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主人. 具體說(shuō)明如下：

（1）參與探索發(fā)現(xiàn)，領(lǐng)略知識(shí)形成過(guò)程

學(xué)生前面，學(xué)習(xí)過(guò)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念，這樣由復(fù)習(xí)概念入手，順其自然提出問(wèn)題：在垂直平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，它到線(xiàn)段兩端的距離有何關(guān)系？學(xué)生會(huì)很容易得出“相等”. 然后學(xué)生完成證明，找一名學(xué)生的證明過(guò)程，進(jìn)行投影總結(jié). 最后，由學(xué)生將上述問(wèn)題，用文字的形式進(jìn)行歸納，即得線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理. 這樣讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐，積極參與發(fā)現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)識(shí)沖突，使學(xué)生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機(jī)會(huì)，對(duì)定理的產(chǎn)生過(guò)程，真正做到心領(lǐng)神會(huì).

（2）采用“類(lèi)比”的學(xué)習(xí)方法，獲取逆定理

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理及逆定理的證明都比較簡(jiǎn)單，學(xué)生學(xué)習(xí)一般沒(méi)有什么困難，這一節(jié)的難點(diǎn)仍然的定理及逆定理的關(guān)系，為了很好的突破這一難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)采用與角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和逆定理對(duì)照，類(lèi)比的方法進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這兩個(gè)定理的區(qū)別和聯(lián)系.

(3) 通過(guò)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；讓學(xué)生學(xué)會(huì)引申、變更問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的創(chuàng)造性能力.

教學(xué)目標(biāo) ：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）掌握的性質(zhì)定理及其逆定理；

（2）能運(yùn)用它們證明兩條線(xiàn)段相等或兩條直線(xiàn)互相垂直；

2、能力目標(biāo)：

（1）通過(guò)例題的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力；

（2）提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

3、情感目標(biāo)：

（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；；

（2）通過(guò)知識(shí)的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征.

教學(xué)重點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理及其逆定理

教學(xué)難點(diǎn) ：定理及逆定理的關(guān)系 

教學(xué)用具：直尺，微機(jī)

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體的討論探索法

教學(xué)過(guò)程 ：

1、新課背景知識(shí)復(fù)習(xí)

（1）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念

（2）問(wèn)題：（投影顯示）

如圖，CD是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，P為CD上任意一點(diǎn)，PA、PB有何關(guān)系？為什么？

整個(gè)過(guò)程，由學(xué)生完成. 找一名學(xué)生代表回答上述問(wèn)題并

投影顯示學(xué)生的證明過(guò)程.

2、定理的獲得

讓學(xué)生用文字語(yǔ)言將上述問(wèn)題表述出來(lái).

定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理是證明線(xiàn)段相等的一條依據(jù)，在計(jì)算、作圖中也有重要作用.

學(xué)生根據(jù)上述學(xué)習(xí)，提出自己的問(wèn)題（待定）

學(xué)習(xí)完一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，給學(xué)生留有一定的時(shí)間和機(jī)會(huì)，提出問(wèn)題，然后大家共同分析討論.

3、逆定理的獲得

類(lèi)比角平分線(xiàn)逆定理獲得的過(guò)程，讓學(xué)生講解下一環(huán)節(jié)所要學(xué)習(xí)研究的內(nèi)容.

這一過(guò)程，完全由學(xué)生自己通過(guò)小組的形式，代表到臺(tái)前講解.

逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條上.

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：定理與逆定理的聯(lián)系與區(qū)別

相同點(diǎn)：結(jié)構(gòu)相同、證明方法相同

不同點(diǎn)：用途不同，定理是用來(lái)證線(xiàn)段相等

4、定理與逆定理的應(yīng)用

（1）講解例1（投影例1）

例1 如圖，△ABC中，∠C＝ ，∠A＝ ，AB的在垂線(xiàn)交AC于D，交AB于E

求證：AC＝3CD

證明：∵DE垂直平分AB

∴AD＝BD

∴∠1＝∠A＝

∵

∴∠2＝

∴CD＝ BD

∴CD＝ AD

∴AD＝2CD

即AC＝3CD

講解例2（投影例2 ）

例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直線(xiàn)與AC所在直線(xiàn)相交所得的銳角為 ，求底角B的大小.

（學(xué)生思考、分析、討論，教師巡視，適當(dāng)參與討論）

解：（1）當(dāng)AB的中垂線(xiàn)MN與AC相交時(shí)，如圖（1），

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠A＝ －∠AED＝ － ＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

（2）當(dāng)?shù)闹写咕�(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，如圖（2）

∵∠ADE＝ ，∠AED＝

∴∠BAE＝－∠AED＝－＝

∵AB＝AC ∴∠B＝∠C

∴∠B＝

例3 （1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于N，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，∠A＝ ，求∠NMB的大小

（2）如果將（1）中∠A的度數(shù)改為 ，其余條件不變，再求∠NMB的大小

（3）你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性？試證明之.

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，對(duì)這個(gè)問(wèn)題規(guī)律性的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改

解：（1）∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠B＝

∵∠BNM＝

∴

（2）如圖，同（1）同理求得

（3）如圖，∠NMB的大小為∠A的一半

5、課堂小結(jié)：

(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理和逆定理

(2)在應(yīng)用時(shí)，易忽略直接應(yīng)用，往往又重新證三角形的全等，使計(jì)算或證明復(fù)雜化.

6、布置作業(yè) ：

書(shū)面作業(yè) P119＃2、3

思考題：已知：如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高

求證：AD垂直平分EF

證明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE＝AF

∴A點(diǎn)也在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上

∵兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

∴直線(xiàn)AD就是線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)

板書(shū)設(shè)計(jì) ：