初二數學精華一元一次不等式（組）（一）

一元一次不等式（組）（一）

一、全章教學內容及要求
1、理解不等式的概念和基本性質
2、會解一元一次不等式，并能在數軸上表示不等式的解集
3、會解一元一次不等式組，并能在數軸上表示不等式組的解集。

二、技能要求

1、會在數軸上表示不等式的解集。

2、會運用不等式的基本性質（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

3、掌握一元一次不等式組的解法，會運用數軸確定不等式組的解集。

三、重要的數學思想：

1、通過一元一次不等式解法的學習，領會轉化的數學思想。

2、通過在數軸上表示一元一次不等式的解集與運用數軸確定一元一次不等式組的解集，進一步領會數形結合的思想。

四、主要數學能力

1、通過運用不等式基本性質對不等式進行變形訓練，培養邏輯思維能力。

2、通過一元一次不等式解法的歸納及一元一次方程解法的類比，培養思維能力。

3、在一元一次不等式，一元一次不等式組解法的技能訓練基礎上，通過觀察、分析、靈活運用不等式的基本性質，尋求合理、簡捷的解法，培養運算能力。

五、類比思想：

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數學思想通常稱為“類比”，它體現了“不同事物之間存在內部聯系”的唯物辯證觀點，是發現數學真理和解題方法的重要手段之一，在數學中有著廣泛的運用。

在本章中，類比思想的突出運用有：

1、不等式與等式的性質類比。

對于等式（例如a=b）的性質，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a 等式有兩個基本性質：

1、等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，等號不變。（即兩邊仍然相等）。

2、等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，符號不變（即兩邊仍然相等）。

按“類比”思想考慮問題，自然會問：不等式是否也具有這樣相類似的性質，通過實例的反復檢驗得到的回答是對的，即有。

不等式的性質；1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變（即原來大的一邊仍然大，原來較小的一邊仍然較�。�。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變（即原來較大的一邊反而較小，原來較小的一邊反而較大）。

例如：-x>20, 兩邊都乘以-5，得，
x<-100，（變形根據是不等式基本性質3）。
等式的基本性質是等式變形的根據，與此類似，不等式的基本性質是不等式變形的根據。

2、不等式的解與方程的解的類比

從形式上看，含有未知數的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來考慮問題，同樣可以仿效方程解的意義來理解不等式的解的意義。

例如：當x=3時，方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當x=2時，方程x+4=7兩邊值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

類似地當x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一個解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似，但它們的解的情況卻有重大的區別。一般地說，一元方程只有一個或幾個解；而含有未知數的不等式，一般都有無數多個解。

例如：x+6=5只有一個解x=-1，在數軸上表示出來只是一個點，如圖，

而不等式x+6>5則有無數多個解-----大于-1的任何一個數都是它的解。它的解集是x>-1，在數軸上表示出來是一個區間，如圖

2、符號“≥”讀作“大于或等于”或也可以理解為“不小于”；符號“≤”讀作“小于或等于”或可以理解為“不大于”。

例如；在數軸上表示出下列各式：
（1）x≥2 （2）x<-2 （3）x>1 （4）x≤-1

解：
x≥2 x<-2 x>1 x≤-1

3、不等式解法與方程的解法類比。

從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學習一元一次方程時利用等式的兩個基本性質求得一元一次方程解，按“類比”思想考慮問題自然會推斷出若用不等式的三條基本性質，采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如：解下列方程和不等式：
=+1 ≥+1

解：3(2+x)=2(2x-1)+6 1、去分母： 解：3(2+x)≥2(2x-1)+6
6+3x=4x-2+6 2、去括號： 6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 3、移項： 3x-4x≥-2+6-6
-x=-2 4、合并同類項： -x≥-2
x=2 5、系數化為1： x≤2
∴ x=2是原方程的解 ∴ x≤2是原不等式的解集。

注意：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意步驟1和5，如果乘數或除數是負數時，解不等式時要改變不等號的方向。

六、帶有附加條件的不等式：

例1，求不等式(3x+4)-3≤7的最大整數解。

分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時應先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。

解： (3x+4)-3≤7
去分母： 3x+4-6≤14
移項： 3x≤14-4+6
合并同類項： 3x≤16
系數化為1： x≤5
∴ x≤5的最大整數解為x=5

例2，x取哪些正整數時，代數式3-的值不小于代數式的值？

解：依題意需求不等式3-≥的解集。
解這個不等式：
去分母：24-2(x-1)≥3(x+2)
去括號： 24-2x+2≥3x+6
移項： -2x-3x≥6-24-2
合并同類項： -5x≥-20
系數化為1： x≤4
∴ x=4的正整數為x=1, 2, 3, 4.

答：當x取1, 2, 3, 4時，代數式3-的值不小于代數式的值。
例3，當k取何值時，方程x-2k=3(x-k)+1的解為負數。

分析：應先解關于x的字母系數方程，即找到x的表達式，再解帶有附加條件的不等式。

解：解關于x的方程：x-2k=3(x-k)+1
去分母： x-4k=6(x-k)+2
去括號： x-4k=6x-6k+2
移項： x-6x=-6k+2+4k
合并同類項： -5x=2-2k
系數化為1： x==.
要使x為負數，即x=<0，
∵ 分母>0，∴ 2k-2<0, ∴ k<1，
∴ 當k<1時，方程x-2k=3(x-k)+1的解是負數。

例4，若|3x-6|+(2x-y-m)²=0，求m為何值時y為正數。

分析：目前我們學習過的兩個非負數問題，一個是絕對值為非負數，另一個是完全平方數是非負數。由非負數的概念可知，兩個非負數的和等于0，則這兩個非負數只能為零。由這個性質此題可轉化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關于m的不等式。

解：∵ |3x-6|+(2x-y-m)²=0,
∴ ∴
解方程組得
要使y為正數，即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 當m<4時，y為正數。

注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負數”、“正數”、“負數”、“負整數”……這些描述不等關系的語言所對應的不等號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，然后再從中篩選出符合要求的解。

七、字母系數的不等式：

例：解關于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3

分析：由于x是未知數，所以應把a看作已知數，又由于a可以是任意有理數，所以在應用同解原理時，要區別情況，進行分類討論。

解：移項，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同類項： (a+3)x≥3-3a
(1)當a+3>0，即a>-3時，x≥,
(2)當a+3=0，即a=-3時，0x≥12，不等式無解。
(3)當a+3<0，即a<-3時，x≤。

注意：在處理字母系數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其他字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的系數化為1時，應作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三種情況進行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問題的方法叫做“分類討論”。

八、有關大小比較的問題

例1.根據給定條件，分別求出a的取值范圍。

（1）若a²>a，則a的取值范圍是____________；

（2）若a>, 則a的取值范圍是____________。

解：（1）∵ a²>a,
∴ a²－a>0, 即a(a－1)>0,
∴ 或
解得a>1或a<0。

答：a的取值范圍是a<0或a>1。

（2）∵ a>,∴ a－>0, 即>0.
∴ 或
或
解得a>1或－1
答：a的取值范圍是－11.

例2.（1）比較下列各組數的大小，找規律，提出你的猜想：
______; _______; ______;
______; _______; _____.

從上面的各式發現：一個正分數的分子和分母_____________，所得分數的值比原分數的值要_________。

猜想：設a>b>0, m>0, 則_______。

（2）試證明你的猜想：

分析：1.易知：前面的各個空都填 “< ”.

一個正分數的分子和分母都加上同一個正數，所得分數的值比原分數的值要大。

2.欲證<，只要證－<0.
即證 <0,
即證 <0,
證明：∵ a>b>0, b－a<0,
又∵ m>0, ∴ m(b－a)<0,
∵ －=
==<0,
∴ <。

上面這個不等式有很多有意義的應用。

例如，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件變好了。

設窗戶面積為a，地板面積為b，若同時增加相等的窗戶面積和地板面積m，由<可知，住宅的采光條件變好了。