二次根式的化簡
教學建議
知識結構
.
重難點分析
本節(jié)的重點是 的化簡.本章自始至終圍繞著與計算進行，而 的化簡不但涉及到前面學習過的算術平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質，還要牽涉到絕對值以及各種非負數(shù)、因式分解等知識，在應用中常常需要對字母進行分類討論.
本節(jié)的難點是正確理解與應用公式
.
這個公式的表達形式對學生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學生往往容易出現(xiàn)錯誤.
教法建議
1.性質的引入方法很多，以下2種比較常用：
（1）設計問題引導啟發(fā)：由設計的問題
1） 、 、 各等于什么？
2） 、 、 各等于什么？
啟發(fā)、引導學生猜想出
（2）從算術平方根的意義引入.
2.性質的鞏固有兩個方面需要注意：
（1）注意與性質 進行對比，可出幾道類型不同的題進行比較；
（2）學生初次接觸這種形式的表示方式，在教學時要注意細分層次加以鞏固，如單個數(shù)字，單個字母，單項式，可進行因式分解的多項式，等等.
（第1課時）
一、教學目標
1.掌握二次根式的性質
2.能夠利用二次根式的性質化簡二次根式
3.通過本節(jié)的學習滲透分類討論的數(shù)學思想和方法
二、教學設計
對比、歸納、總結
三、重點和難點
1.重點：理解并掌握二次根式的性質
2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡有關的二次根式.
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設計
復習對比，歸納整理，應用提高，以學生活動為主
七、教學過程
一、導入 新課
我們知道，式子 （ ）表示非負數(shù) 的算術平方根.
問：式子 的意義是什么？被開方數(shù)中的 表示的是什么數(shù)？
答：式子 表示非負數(shù) 的算術平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數(shù).
二、新課
計算下列各題，并回答以下問題：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8）
1.各小題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是什么數(shù)？
2.各小題的結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)有什么關系？
3.用字母 表示被開方數(shù)的冪的底數(shù)，將有怎樣的結論？并用語言敘述你的結論.
答：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8） .
1.（1），（2），（3）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是正數(shù)；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是負數(shù)；（8）題被開方數(shù)的冪的底數(shù)是0.
2.（1），（2），（3），（8）各題的計算結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)分別互為相反數(shù).
3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ），
用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有
（ ）.
一個非負數(shù)的平方的算術平方根，等于這個非負數(shù)本身；一個負數(shù)的平方的算術平方根，等于這個負數(shù)的相反數(shù).
問：請把上述討論結論，用一個式子表示.（注意表示條件和結論）
答：
請同學回憶實數(shù)的絕對值的代數(shù)意義，它和上述二次根式的性質有什么聯(lián)系？
答：
填空：
1.當 _________時， ；
2.當 時， ，當 時， ；
3.若 ，則 ________；
4.當 時， .
答：
1.當 時， ；
2.當 時， ，
當 時， ；
3.若 ，則 ；
4.當 時， .
例1 化簡 （ ）.
分析：可以利用積的算術平方根的性質及二次根式的性質化簡.
解 ，因為 ，所以 ，所以
.
指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據(jù)已知條件中 的取值范圍，確定其結果.
例2 化簡 （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質，當 時， .
解 .
例3 化簡：（1） （ ）； （2） （ ）.
分析：根據(jù)二次根式的性質，當 時， .
解 （1） .
（2） .
注意：（1）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 .
（2）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 .
這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出.
例4 化簡 .
分析：根據(jù)二次根式的性質，有
.
所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡.
解 因為 ， ，所以
， .
所以
.
三、課堂練習
1.求下列各式的值：
（1） ； （2） .
2.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）.
3.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） （ ）.
答案：
1.（1）0.1； （2） .
2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
3.（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1.
四、小結
1.二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數(shù).
2.化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據(jù)已知條件中字母 的取值范圍，確定其結果.
3.在化簡中，注意運用題設中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件.
五、作業(yè)
1.化簡：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）；
（5） ； （6） （ ， ）；
（7） （ ）.
2.化簡：
（1） ；
（2） （ ）；
（3） （ ， ）.
答案：
1.（1）－30； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ； （7） .
2.（1）2； （2）0； （3） .