高三數學優秀教案（精選13篇）

高三數學優秀教案 篇1

　　一、教學內容分析

　　本小節是普通高中課程標準實驗教科書數學5（必修）第三章第3小節，主要內容是利用平面區域體現二元一次不等式（組）的解集；借助圖解法解決在線性約束條件下的二元線性目標函數的最值與解問題；運用線性規劃知識解決一些簡單的實際問題（如資源利用，人力調配，生產安排等）。突出體現了優化思想，與數形結合的思想。本小節是利用數學知識解決實際問題的典例，它體現了數學源于生活而用于生活的特性。

　　二、學生學習情況分析

　　本小節內容建立在學生學習了一元不等式（組）及其應用、直線與方程的基礎之上，學生對于將實際問題轉化為數學問題，數形結合思想有所了解。但從數學知識上看學生對于涉及多個已知數據、多個字母變量，多個不等關系的知識接觸尚少，從數學方法上看，學生對于圖解法還缺少認識，對數形結合的思想方法的掌握還需時日，而這些都將成為學生學習中的難點。

　　三、設計思想

　　以問題為載體，以學生為主體，以探究歸納為主要手段，以問題解決為目的，以多媒體為重要工具，激發學生的動手、觀察、思考、猜想探究的興趣。注重引導學生充分體驗“從實際問題到數學問題”的數學建模過程，體會“從具體到一般”的抽象思維過程，從“特殊到一般”的探究新知的過程；提高學生應用“數形結合”的思想方法解題的能力；培養學生的分析問題、解決問題的能力。

　　四、教學目標

　　1、知識與技能：了解二元一次不等式（組）的概念，掌握用平面區域刻畫二元一次不等式（組）的方法；了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域和解等概念；理解線性規劃問題的圖解法；會利用圖解法求線性目標函數的最值與相應解；

　　2、過程與方法：從實際問題中抽象出簡單的線性規劃問題，提高學生的數學建模能力；在探究的過程中讓學生體驗到數學活動中充滿著探索與創造，培養學生的數據分析能力、化歸能力、探索能力、合情推理能力；

　　3、情態與價值：在應用圖解法解題的過程中，培養學生的化歸能力與運用數形結合思想的能力；體會線性規劃的基本思想，培養學生的`數學應用意識；體驗數學來源于生活而服務于生活的特性。

　　五、教學重點和難點

　　重點：從實際問題中抽象出二元一次不等式（組），用平面區域刻畫二元一次不等式組的解集及用圖解法解簡單的二元線性規劃問題；

　　難點：二元一次不等式所表示的平面區域的探究，從實際情境中抽象出數學問題的過程探究，簡單的二元線性規劃問題的圖解法的探究。

　　六、教學基本流程

　　第一課時，利用生動的情景激起學生求知的__，從中抽象出數學問題，引出二元一次不等式（組）的基本概念，并為線性規劃問題的引出埋下伏筆。通過學生的自主探究，分類討論，大膽猜想，細心求證，得出二元一次不等式所表示的平面區域，從而突破本小節的第一個難點；通過例1、例2的討論與求解引導學生歸納出畫二元一次不等式（組）所表示的平面區域的具體解答步驟（直線定界，特殊點定域）；最后通過練習加以鞏固。

　　第二課時，重現引例，在學生的回顧、探討中解決引例中的可用方案問題，并由此歸納總結出從實際問題中抽象出數學問題的基本過程：理清數據關系（列表）→設立決策變量→建立數學關系式→畫出平面區域。讓學生對例3、例4進行分析與討論進一步完善這一過程，突破本小節的第二個難點。

　　第三課時，設計情景，借助前兩個課時所學，設立決策變量，畫出平面區域并引出新的問題，從中引出線性規劃的相關概念，并讓學生思考探究，利用特殊值進行猜測，找到方案；再引導學生對目標函數進行變形轉化，利用直線的圖象對上述問題進行幾何探究，把最值問題轉化為截距問題，通過幾何方法對引例做出完美的解答；回顧整個探究過程，讓學生在討論中達成共識，總結出簡單線性規劃問題的圖解法的基本步驟。通過例5的展示讓學生從動態的角度感受圖解法。最后再現情景1，并對之作出完美的解答。

　　第四課時，給出新的引例，讓學生體會到線性規劃問題的普遍性。讓學生討論分析，對引例給出解答，并綜合前三個課時的教學內容，連綴成線，總結出簡單線性規劃的應用性問題的一般解答步驟，通過例6，例7的分析與展示進一步完善這一過程。總結線性規劃的應用性問題的幾種類型，讓學生更深入的體會到優化理論，更好的認識到數學來源于生活而運用于生活的特點。

高三數學優秀教案 篇2

　　一、指導思想與理論依據

　　數學是一門培養人的思維，發展人的思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。所以在學生為主體，教師為主導的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節課我以建構主義的“創設問題情境——提出數學問題——嘗試解決問題——驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發、類比、引導、探索相結合的教學方法。在教學手段上，則采用多媒體輔助教學，將抽象問題形象化，使教學目標體現的更加完美。

　　二、教材分析

　　三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）數學必修四，第一章第三節的內容，其主要內容是三角函數誘導公式中的公式（二）至公式（六）。本節是第一課時，教學內容為公式（二）、（三）、（四）。教材要求通過學生在已經掌握的任意角的三角函數的定義和誘導公式（一）的基礎上，利用對稱思想發現任意角與、終邊的對稱關系，發現他們與單位圓的交點坐標之間關系，進而發現他們的三角函數值的關系，即發現、掌握、應用三角函數的誘導公式公式（二）、（三）、（四）。同時教材滲透了轉化與化歸等數學思想方法，為培養學生養成良好的學習習慣提出了要求。為此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位。

　　三、學情分析

　　本節課的授課對象是本校高一（1）班全體同學，本班學生水平處于中等偏下，但本班學生具有善于動手的良好學習習慣，所以采用發現的教學方法應該能輕松的完成本節課的教學內容。

　　四、教學目標

　　（1）、基礎知識目標：理解誘導公式的發現過程，掌握正弦、余弦、正切的誘導公式；

　　（2）、能力訓練目標：能正確運用誘導公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及進行簡單的三角函數求值與化簡；

　　（3）、創新素質目標：通過對公式的推導和運用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數形結合的數學思想，提高學生分析問題、解決問題的能力；

　　（4）、個性品質目標：通過誘導公式的學習和應用，感受事物之間的普通聯系規律，運用化歸等數學思想方法，揭示事物的本質屬性，培養學生的唯物史觀。

　　五、教學重點和難點

　　1、教學重點

　　理解并掌握誘導公式。

　　2、教學難點

　　正確運用誘導公式，求三角函數值，化簡三角函數式。

　　六、教法學法以及預期效果分析

　　“授人以魚不如授之以魚”，作為一名老師，我們不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想方法，如何實現這一目的，要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究。下面我從教法、學法、預期效果等三個方面做如下分析。

　　1、教法

　　數學教學是數學思維活動的教學，而不僅僅是數學活動的結果，數學學習的目的不僅僅是為了獲得數學知識，更主要作用是為了訓練人的思維技能，提高人的思維品質。

　　在本節課的教學過程中，本人以學生為主題，以發現為主線，盡力滲透類比、化歸、數形結合等數學思想方法，采用提出問題、啟發引導、共同探究、綜合應用等教學模式，還給學生“時間”、“空間”，由易到難，由特殊到一般，盡力營造輕松的學習環境，讓學生體味學習的快樂和成功的喜悅。

　　2、學法

　　“現代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，很多課堂教學常常以高起點、大容量、快推進的做法，以便教給學生更多的知識點，卻忽略了學生接受知識需要時間消化，進而泯滅了學生學習的興趣與熱情。如何能讓學生程度的消化知識，提高學習熱情是教者必須思考的問題。

　　在本節課的教學過程中，本人引導學生的學法為思考問題、共同探討、解決問題簡單應用、重現探索過程、練習鞏固。讓學生參與探索的全部過程，讓學生在獲取新知識及解決問題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動學習轉化為主動的自主學習。

　　3、預期效果

　　本節課預期讓學生能正確理解誘導公式的發現、證明過程，掌握誘導公式，并能熟練應用誘導公式了解一些簡單的化簡問題。

高三數學優秀教案 篇3

　　一、基本知識概要：

　　1.直線與圓錐曲線的位置關系：相交、相切、相離。

　　從代數的角度看是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時必相離;有兩組解必相交;一組解時，若化為_或y的方程二次項系數非零，判別式⊿=0時必相切，若二次項系數為零，有一組解仍是相交。

　　2.弦：直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。

　　焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦;

　　通徑：若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸，此時焦點弦也叫通徑。

　　3.①當直線的斜率存在時，弦長公式：=或當存在且不為零時，(其中，是交點坐標)。

　　②拋物線的焦點弦長公式|AB|=，其中α為過焦點的直線的傾斜角。

　　4.重點難點：直線與圓錐曲線相交、相切條件下某些關系的確立及其一些字母范圍的確定。

　　5.思維方式：方程思想、數形結合的思想、設而不求與整體代入的技巧。

　　6.特別注意：直線與圓錐曲線當只有一個交點時要除去兩種情況，些直線才是曲線的切線。一是直線與拋物線的對稱軸平行;二是直線與雙曲線的漸近線平行。

　　二、例題：

　　【例1】

　　直線y=_+3與曲線

　　A。沒有交點B。只有一個交點C。有兩個交點D。有三個交點。

　　〖解〗：當_>0時，雙曲線的漸近線為：，而直線y=_+3的斜率為1，10因此直線與橢圓左半部分有一交點，共計3個交點，選D。

　　[思維點拔]注意先確定曲線再判斷。

　　【例2】

　　已知直線交橢圓于A、B兩點，若為的傾斜角，且的長不小于短軸的長，求的取值范圍。

　　解：將的方程與橢圓方程聯立，消去，得由，的取值范圍是__。

　　[思維點拔]對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用民。本題由于的方程由給出，所以可以認定，否則涉及弦長計算時，還要討論時的情況。

　　【例3】

　　已知拋物線與直線相交于A、B兩點。

　　(1)求證：

　　(2)當的面積等于時，求的值。

　　(1)證明：圖見教材P127頁，由方程組消去后，整理得。設，由韋達定理得在拋物線上，

　　(2)解：設直線與軸交于N，又顯然令

　　[思維點拔]本題考查了兩直線垂直的'充要條件，三角形的面積公式，函數與方程的思想，以及分析問題、解決問題的能力。

　　【例4】

　　在拋物線y2=4_上恒有兩點關于直線y=k_+3對稱，求k的取值范圍。

　　〖解〗設B、C關于直線y=k_+3對稱，直線BC方程為_=-ky+m代入y2=4_得：

　　y2+4ky-4m=0，設B(_1，y1)、C(_2，y2)，BC中點M(_0，y0)，則

　　y0=(y1+y2)/2=-2k。_0=2k2+m，

　　∵點M(_0，y0)在直線上。∴-2k(2k2+m)+3，∴m=-又BC與拋物線交于不同兩點，∴⊿=16k2+16m>0把m代入化簡得即，

　　解得-1

　　[思維點拔]對稱問題要充分利用對稱的性質特點。

　　【例5】

　　已知橢圓的一個焦點F1(0，-2)，對應的準線方程為y=-，且離心率e滿足：2/3，e，4/3成等比數列。

　　(1)求橢圓方程;

　　(2)是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線_=-平分。若存在，求的傾斜角的范圍;若不存在，請說明理由。

　　〖解〗依題意e=

　　(1)∵-c=-2=，又e=∴=3，c=2，b=1，又F1(0，-2)，對應的準線方程為y=-。∴橢圓中心在原點，所求方程為：

　　=1

　　(2)假設存在直線，依題意交橢圓所得弦MN被_=-平分，∴直線的斜率存在。設直線：由

　　=1消去y，整理得

　　=0

　　∵直線與橢圓交于不同的兩點M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0

　　即m2-k2-9<0①

　　設M(_1，y1)、N(_2，y2)

　　∴，∴②

　　把②代入①可解得：

　　∴直線傾斜角

　　[思維點拔]傾斜角的范圍，實際上是求斜率的范圍。

　　三、課堂小結：

　　1、解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，對消元后的一元二次方程，必須討論二次項的系數和判別式，有時借助于圖形的幾何性質更為方便。

　　2、涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用點差法，但必須是有交點為前提，否則不宜用此法。

　　3、求圓錐曲線的弦長，可利用弦長公式=或當存在且不為零時，(其中，是交點坐標。再結合韋達定理解決，焦點弦長也可利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化。

　　四、作業布置：

　　教材P127闖關訓練。

高三數學優秀教案 篇4

　　教學目標

　　1.理解充要條件的意義。

　　2.掌握判斷命題的條件的充要性的方法。

　　3.進一步培養學生簡單邏輯推理的思維能力。

　　教學重點

　　理解充要條件意義及命題條件的充要性判斷。

　　教學難點

　　命題條件的充要性的判斷。

　　教學方法

　　講、練結合教學。

　　教具準備

　　多媒體教案。

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　由上節內容可知，一個命題條件的充分性和必要性可分為四類，即有哪四類?

　　答：充分不必要條件;必要不充分條件;既充分又必要條件;既不充分也不必要條件。

　　本節課將繼續研究命題中既充分又必要的條件。

　　二、新課：§1.8.2 充要條件

　　問題：請判定下列命題的條件是結論成立的什么條件?

　　(1)若a是無理數，則a+5是無理數;

　　(2)若a>b，則a+c>b+c;

　　(3)若一元二次方程a_2+b_+c=0有兩個不等的實根，則判別式Δ>0。

　　答：命題(1)中因：a是無理數a+5是無理數，所以“a是無理數”是“a+5是無理數”的充分條件;又因：a+5是無理數a是無理數，所以“a是無理數”又是“a+5是無理數”的必要條件。因此“a是無理數”是“a+5是無理數“既充分又必要的條件。

　　由上述命題(1)的條件判定可知：

　　一般地，如果既有pq，又有qp，就記作：pq.叫做等價符號。pq表示pq且qp。

　　這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

　　續問：請回答命題(2)、(3)。

　　答：命題(2)中因：a>b

　　a+c>b+c.又a+c>b+ca>b，則“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件.

　　命題(3)中因：一元二次方程a_2+b_+c=0有兩個不等實根Δ>0，又由Δ>0一元二次方程a_2+b_+c=0有兩個不等根，故“一元二次方程a_2+b_+c=0有兩個不等實根”是“判別式Δ>0”的充要條件。

　　討論解答下列例題：

　　指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種)?

　　(1)p：(_—2)(_—3)=0;q：_—2=0。

　　(2)p：同位角相等;q：兩直線平行。

　　(3)p：_=3;q：_2=9。

　　(4)p：四邊形的對角線相等;q：四邊形是平形四邊形;q：2_+3=_2 。

　　充要條件(二) 人教選修1—1

　　生：(1)因_—2=0 T(_—2)(_—3)=0，而： (_—2)(_—3)=0_—2=0，所以p是q的必要而不充分條件。

　　(2)因同位角相等兩直線平行，所以p是q的充要條件。

　　(3)因_=3_2=9，而_2=9_=3，所以p是q的充要分而不必要條件。

　　(4)因四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，又四邊形是平四邊形四邊形的對角線相等，所以p是q的既不充分也不必要條件。

　　(5)因 ，解得_=0或_=3.q：2_+3=_2得_=—1或_=3。則有pq，且qp，所以p是q的既不充分也不必要條件。

　　師：由例(5)可知：對復雜命題條件的判斷，應先等價變形后，再進行推理判定。

　　師：再解答下列例題：

　　設集合M={_|_>2}，P={_

　　則由_∈P_∈{_|2

　　故“_∈M或_∈P”是“_∈M∩P”的必要不充分條件.

　　三、課堂練習

　　課本__頁，練習題_、_。

　　四、課時小結

　　本節課的主要內容是“充要條件”的判定方法，即如果pq且qp，則p是q的充要條件.

　　1.書面作業：課本P37，習題1.8 1.(3)、(4) 2.(4)、(5)、(6) 3.

　　2.預習：小結與復習，預習提綱：

　　(1)本章所學知識的主要內容是什么?

　　(2)本章知識內容的學習要求分別是什么?

　　板書設計

　　§1.8.2 充要條件。

　　如果既有pq，又有qp，那么p就是q的既充分又必要條件，即充要條件。

　　教學后記

高三數學優秀教案 篇5

　　【教學目標】：

　　（1）知識目標：

　　通過實例，了解簡單的邏輯聯結詞“且”、“或”的含義；

　　（2）過程與方法目標：

　　了解含有邏輯聯結詞“且”、“或”復合命題的構成形式，以及會對新命題作出真假的判斷；

　　（3）情感與能力目標：

　　在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能。

　　【教學重點】：

　　通過數學實例，了解邏輯聯結詞“或”、“且”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容。

　　【教學難點】：

　　簡潔、準確地表述“或”命題、“且”等命題，以及對新命題真假的判斷。

　　【教學過程設計】：

　　教學環節教學活動設計意圖

　　情境引入問題：

　　下列三個命題間有什么關系？

　　（1）12能被3整除；

　　（2）12能被4整除；

　　（3）12能被3整除且能被4整除；通過數學實例，認識用用邏輯聯結詞“且”聯結兩個命題可以得到一個新命題；

　　知識建構歸納總結：

　　一般地，用邏輯聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，

　　記作，讀作“p且q”。

　　引導學生通過通過一些數學實例分析，概括出一般特征。

　　1、引導學生閱讀教科書上的例1中每組命題p，q，讓學生嘗試寫出命題，判斷真假，糾正可能出現的邏輯錯誤。學習使用邏輯聯結詞“且”聯結兩個命題，根據“且”的含義判斷邏輯聯結詞“且”聯結成的新命題的真假。

　　2、引導學生閱讀教科書上的例2中每個命題，讓學生嘗試改寫命題，判斷真假，糾正可能出現的邏輯錯誤。

　　歸納總結：

　　當p，q都是真命題時，是真命題，當p，q兩個命題中有一個是假命題時，是假命題，

　　學習使用邏輯聯結詞“且”改寫一些命題，根據“且”的含義判斷原先命題的真假。

　　引導學生通過通過一些數學實例分析命題p和命題q以及命題的真假性，概括出這三個命題的真假性之間的一般規律。

高三數學優秀教案 篇6

　　教學目標：

　　能熟練地根據拋物線的定義解決問題，會求拋物線的焦點弦長。

　　教學重點：

　　拋物線的標準方程的有關應用。

　　教學過程：

　　一、復習：

　　1、拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。

　　2、拋物線的標準方程：

　　二、新授：

　　例1、點M與點F(4，0)的距離比它到直線l：_+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程。

　　解：略

　　例2、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為_軸，拋物線上的點M(—3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值。

　　解：略

　　例3、斜率為1的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長。

　　解：略

　　點評：1、本題有三種解法：一是求出A、B兩點坐標，再利用兩點間距離公式求出AB的長;二是利用韋達定理找到_1與_2的關系，再利用弦長公式|AB|=求得，這是設而不求的思想方法;三是把過焦點的弦分成兩個焦半徑的和，轉化為到準線的距離。

　　2、拋物線上一點A(_0，y0)到焦點F的距離|AF|=這就是拋物線的焦半徑公式，焦點弦長|AB|=_1+_2+p。

　　例4、在拋物線上求一點P，使P點到焦點F與到點A(3，2)的距離之和最小。

　　解：略

　　三、做練習：

　　第___頁第_題

　　四、小結：

　　1、求拋物線的標準方程需判斷焦點所在的坐標軸和確定p的值，過焦點的直線與拋物線的交點問題有時用焦點半徑公式簡單。

　　2、焦點弦的幾條性質：設直線過焦點F與拋物線相交于A(_1，y1)，B(_2，y2)兩點，則：①;②;③通徑長為2p;④焦點弦長|AB|=_1+_2+p。

　　五、布置作業：

　　習題8.5第4、5、6、7題。

高三數學優秀教案 篇7

　　一、導入新課，探究標準方程

　　二、掌握知識，鞏固練習

　　練習：

　　1、說出下列圓的方程

　　⑴圓心（3，—2）半徑為5

　　⑵圓心（0，3）半徑為3

　　2、指出下列圓的圓心和半徑

　　⑴（x—2）2+（y+3）2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2—6x+4y+12=0

　　3、判斷3x—4y—10=0和x2+y2=4的位置關系

　　4、圓心為（1，3），并與3x—4y—7=0相切，求這個圓的方程

　　三、引伸提高，講解例題

　　例1、圓心在y=—2x上，過p（2，—1）且與x—y=1相切求圓的方程（突出待定系數的數學方法）

　　練習：

　　1、某圓過（—2，1）、（2，3），圓心在x軸上，求其方程。

　　2、某圓過A（—10，0）、B（10，0）、C（0，4），求圓的方程。

　　例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

　　例3、點M（x0，y0）在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程（一題多解，訓練思維）

　　四、小結練習P771，2，3，4

　　五、作業P811，2，3，4

高三數學優秀教案 篇8

　　教學目標

　　（1）掌握向量的有關概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

　　（2）理解并掌握復數集、復平面內的點的集合、復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系；

　　（3）掌握復數的模的定義及其幾何意義；

　　（4）通過學習，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（5）通過本節內容的學習，培養學生的觀察能力、分析能力，幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法.

　　教學建議

　　一、知識結構

　　本節內容首先從物理中所遇到的一些矢量出發引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復數集與復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系，指出了復數的模的定義及其計算公式.

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數與復平面的向量的一一對應關系的理解；難點是復數模的概念.復數可以用向量表示，二者的對應關系為什么只能說復數集與以原點為起點的向量的集合一一對應關系，而不能說與復平面內的向量一一對應，對這一點的理解要加以重視.在復數向量的表示中，從復數集與復平面內的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關系是本節教學的難點.復數模的概念是一個難點，首先要理解復數的絕對值與實數絕對值定義的一致性質，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復平面上的點到原點的距離.

　　三、教學建議

　　1.在學習新課之前一定要復習舊知識，包括實數的絕對值及幾何意義，復數的有關概念、現行高中物理課本中的有關矢量知識等，特別是對于基礎較差的學生，這一環節不可忽視.

　　2.理解并掌握復數集、復平面內的點集、復平面內以原點為起點的向量集合三者之間的關系

　　如圖所示，建立復平面以后，復數 與復平面內的點 形成—一對應關系，而點 又與復平面的向量 構成—一對應關系.因此，復數集 與復平面的以 為起點，以 為終點的向量集 形成—一對應關系.因此，我們常把復數 說成點Z或說成向量 .點 、向量 是復數 的另外兩種表示形式，它們都是復數 的幾何表示.

　　相等的向量對應的是同一個復數，復平面內與向量 相等的向量有無窮多個，所以復數集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關系.復數集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構成—一對應關系.

　　2.

　　這種對應關系的建立，為我們用解析幾何方法解決復數問題，或用復數方法解決幾何問題創造了條件.

　　3.向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度.它的計算公式是 ，當實部為零時，根據上面復數的模的公式與以前關于實數絕對值及算術平方根的規定一致.這些內容必須使學生在理解的基礎上牢固地掌握.

　　4.講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議.在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時.如果結合提問 的圖形，可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）.對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應畫成虛線.

　　5.講解復數的模.講復數的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關知識聯系，結合復數與復平面內以原點為起點，以復數所對應的點為終點的向量之間的一一對應關系，使學生在理解的基礎上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對值，也就是有向線段OZ的長度 .它也叫做復數 的模或絕對值.它的計算公式是 .

高三數學優秀教案 篇9

　　一、教學內容分析

　　圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質屬性，它是無數次實踐后的高度抽象。恰當地利用定義來解題，許多時候能以簡馭繁。因此，在學習了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標準方程、幾何性質后，再一次強調定義，學會利用圓錐曲線定義來熟練的解題”。

　　二、學生學習情況分析

　　我所任教班級的學生參與課堂教學活動的積極性強，思維活躍，但計算能力較差，推理能力較弱，使用數學語言的表達能力也略顯不足。

　　三、設計思想

　　由于這部分知識較為抽象，如果離開感性認識，容易使學生陷入困境，降低學習熱情。在教學時，借助多媒體動畫，引導學生主動發現問題、解決問題，主動參與教學，在輕松愉快的環境中發現、獲取新知，提高教學效率。

　　四、教學目標

　　1、深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義，能靈活應用定義問題;熟練掌握焦點坐標、頂點坐標、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法;能結合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。

　　2、通過對練習，強化對圓錐曲線定義的理解，提高分析、解決問題的能力;通過對問題的不斷引申，精心設問，引導學生學習解題的一般方法。

　　3、借助多媒體輔助教學，激發學習數學的興趣。

　　五、教學重點與難點：

　　教學重點

　　1、對圓錐曲線定義的理解

　　2、利用圓錐曲線的定義求“最值”

　　3、“定義法”求軌跡方程

　　教學難點：

　　巧用圓錐曲線定義

高三數學優秀教案 篇10

　　一般地，從m個不同的元素中，任取n(n≤m)個元素為一組，叫作從m個不同元素中取出n個元素的一個組合。精品小編準備了高三數學教案，具體請看以下內容。

　　教學設計示例

　　教學目標

　　(1)使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題;

　　(2)使學生掌握組合數的計算公式;

　　(3)通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力;

　　教學重點難點

　　重點是組合的定義、組合數及組合數的公式;

　　難點是解組合的應用題.

　　教學過程設計

　　(-)導入新課

　　(教師活動)提出下列思考問題，打出字幕.

　　[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

　　(學生活動)討論并回答.

　　答案提示：(1)排列;(2)組合.

　　[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數，屬于組合問題.這節課著重研究組合問題.

　　設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

　　(二)新課講授

　　[提出問題 創設情境]

　　(教師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.

　　[字幕]1.排列的定義是什么?

　　2.舉例說明一個組合是什么?

　　3.一個組合與一個排列有何區別?

　　(學生活動)閱讀回答.

　　(教師活動)對照課文，逐一評析.

　　設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環境.

　　【歸納概括 建立新知】

　　(教師活動)承接上述問題的回答，展示下面知識.

　　[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

　　組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 .

　　[評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.

　　(學生活動)傾聽、思索、記錄.

　　(教師活動)提出思考問題.

　　[投影] 與 的關系如何?

　　(師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：

　　第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ;

　　第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 .根據分步計數原理，得到

　　[字幕]公式1：

　　公式2：

　　(學生活動)驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

　　設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

　　【例題示范 探求方法】

　　(教師活動)打出字幕，給出示范，指導訓練.

　　[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合.

　　例2 計算：(1) ;(2) .

　　(學生活動)板演、示范.

　　(教師活動)講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.

　　[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.

　　(學生活動)思考分析.

　　解 首先，根據組合的定義，有

　　①

　　其次，由原不等式轉化為

　　即

　　解得 ②

　　綜合①、②，得 ，即

　　[點評]這是組合數公式的應用，關鍵是公式的選擇.

　　設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力.

　　【反饋練習 學會應用】

　　(教師活動)給出練習，學生解答，教師點評.

　　[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題.

　　[補充練習]

　　[字幕]1.計算：

　　2.已知 ，求 .

　　(學生活動)板演、解答.

　　設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特征及應用.

　　(三)小結

　　(師生活動)共同小結.

　　本節主要內容有

　　1.組合概念.

　　2.組合數計算的兩個公式.

　　(四)布置作業

　　1.課本作業：習題10 3第1(1)、(4)，3題.

　　2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人?

　　3.研究性題：

　　在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?

　　(五)課后點評

　　在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，并推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

高三數學優秀教案 篇11

　　教學目標：

　　1、 知識與技能：

　　1) 了解導數概念的實際背景;

　　2) 理解導數的概念、掌握簡單函數導數符號表示和基本導數求解方法;

　　3) 理解導數的幾何意義;

　　4) 能進行簡單的導數四則運算。

　　2、過程與方法：

　　先理解導數概念背景，培養觀察問題的能力;再掌握定義和幾何意義，培養轉化問題的能力;最后求切線方程及運算，培養解決問題的能力。

　　3、 情態及價值觀;

　　讓學生感受數學與生活之間的聯系，體會數學的美，激發學生學習興趣與主動性。

　　教學重點：

　　1、導數的求解方法和過程;

　　2、導數公式及運算法則的熟練運用。

　　教學難點：

　　1、 導數概念及其幾何意義的理解;

　　2、數形結合思想的靈活運用。

　　教學課型：復習課(高三一輪)

　　教學課時：約1課時

高三數學優秀教案 篇12

　　教學目標

　　(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;

　　(2)了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列;

　　(3)掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數;

　　(4)會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力;

　　(5)通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題.難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題.突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中.

　　從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列.因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.排列數是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數.排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，后者是這種排列的不同種數.從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數.

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好 的推導.

　　排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力.

　　在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用.

　　在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.

　　三、教法建議

　　①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事;排列數是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數.例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號 表示排列數.

　　②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.

　　在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別.

　　在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時叫全排列.

　　要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題.

　　③關于排列數公式的推導的教學.公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導 ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的.

　　導出公式 后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“m”比較復雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是 ，共m個因數相乘.”這實際是講三個特點：第一個因數是什么?最后一個因數是什么?一共有多少個連續的自然數相乘.

　　公式 是在引出全排列數公式 后，將排列數公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點：(1)在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使這個公式在 時也能成立，規定 ，如同 時 一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋.

　　④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解.

　　⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實.隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.

高三數學優秀教案 篇13

　　組合

　　教學目標

　　（1）使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題；

　　（2）使學生掌握組合數的計算公式、組合數的性質用組合數與排列數之間的關系；

　　（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；

　　（4）通過對排列、組合問題求解與剖析，培養學生學習興趣和思維深刻性，學生具有嚴謹的學習態度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節的重點是組合的定義、組合數及組合數的公式，組合數的性質。難點是解組合的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應用題當中。

　　組合與組合數，也有上面類似的關系。從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。所有這些不同的組合的個數叫做組合數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合（無序集），相當于一個組合，而這種集合的個數，就是相應的組合數。

　　解排列組合應用題時主要應抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步.切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）.

　　三、教法設計

　　1.對于基礎較好的學生，建議把排列與組合的概念進行對比的進行學習，這樣有利于搞請這兩組概念的區別與聯系.

　　2.學生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔任班長、副班長、體委、學委、生委有多少種選法？”這是兩個相近問題，同學們會根據自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導學生辨認哪個是排列問題，哪個是組合問題.這樣既調動了學生學習的積極性，又在編題辨題中澄清了概念.

　　為了理解排列與組合的概念，建議大家學會畫排列與組合的樹圖.如，從a,b,c,d 4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：

　　排列樹圖　　　　　　

　　由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

　　組合樹圖

　　由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).

　　從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而組合只考慮字母不考慮順序，為實現無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖.

　　學會畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導組合數的計算公式.

　　3.排列組合的應用問題，教師應從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設及排列與組合的綜合問題.

　　對于每一道題目，教師必須先讓學生獨立思考，在進行全班討論，對于學生的每一種解法，教師要先讓學生判斷正誤，在給予點播.對于排列、組合應用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養學生的分析問題解決問題的能力，在學生的多種解法基礎上教師要引導學生選擇方案，總結解題規律.對于學生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認真分析錯誤原因，使學生在是非的判斷得以提高.

　　4.兩個性質定理教學時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組合分別是

　　這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從4個元素里每次取出1個元素的組合是—一對應的.

　　對定理2，可啟發學生從下面問題的討論得出.從n個不同元素 ， ，…， 里每次取出m個不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個組合；（2）在這些組合里，有多少個是不含有 的；　　（3）在這些組合里，有多少個是含有 的；（4）從上面的結果，可以得出一個怎樣的公式.在此基礎上引出定理2.

　　對于 ，和 一樣，是一種規定.而學生常常誤以為是推算出來的，因此，教學時要講清楚.

　　教學設計示例

　　教學目標

　　（1）使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題；

　　（2）使學生掌握組合數的計算公式；

　　（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；

　　教學重點難點

　　重點是組合的定義、組合數及組合數的公式；

　　難點是解組合的應用題.

　　教學過程設計

　　（－）導入新課

　　（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕.

　　［字幕］一條鐵路線上有6個火車站，（1）需準備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？

　　（學生活動）討論并回答.

　　答案提示：（1）排列；（2）組合.

　　［評述］問題（1）是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬于排列問題；（2）是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數，屬于組合問題.這節課著重研究組合問題.

　　設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

　　（二）新課講授

　　［提出問題 創設情境］

　　（教師活動）指導學生帶著問題閱讀課文.

　　［字幕］1.排列的定義是什么？

　　2.舉例說明一個組合是什么？

　　3.一個組合與一個排列有何區別？

　　（學生活動）閱讀回答.

　　（教師活動）對照課文，逐一評析.

　　設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環境.

　　【歸納概括 建立新知】

　　（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識.

　　［字幕］模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

　　組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 .

　　［評述］區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.

　　（學生活動）傾聽、思索、記錄.

　　（教師活動）提出思考問題.

　　［投影］ 與 的關系如何？

　　（師生活動）共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：

　　第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ；

　　第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 .

　　根據分步計數原理，得到

　　［字幕］公式1：

　　公式2：

　　（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

　　設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

　　【例題示范 探求方法】

　　（教師活動）打出字幕，給出示范，指導訓練.

　　［字幕］例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合.

　　例2 計算：（1） ；（2） .

　　（學生活動）板演、示范.

　　（教師活動）講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.

　　［字幕］例3 已知 ，求 的所有值.

　　（學生活動）思考分析.

　　解 首先，根據組合的定義，有

　　①

　　其次，由原不等式轉化為

　　即

　　解得 ②

　　綜合①、②，得 ，即

　　［點評］這是組合數公式的應用，關鍵是公式的選擇.

　　設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力.

　　【反饋練習 學會應用】

　　（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評.

　　［課堂練習］課本P99練習第2，5，6題.

　　［補充練習］

　　［字幕］1.計算：

　　2.已知 ，求 .

　　（學生活動）板演、解答.

　　設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特征及應用.

　　【點評矯正 交流提高】

　　（教師活動）依照學生的板演，給予指正并總結.

　　補充練習答案：

　　1.解：原式：

　　2.解：由題設得

　　整理化簡得 ，

　　解之，得 或 （因 ，舍去），

　　所以 ，所求

　　［字幕］小結：

　　1.前一個公式主要用于計算具體的組合數，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進行化簡和論證.

　　2.在解含組合數的方程或不等式時，一定要注意組合數的上、下標的限制條件.

　　（學生活動）交流討論，總結記錄.

　　設計意圖：由“實踐——認識——一實踐”的認識論，教學時抓住“學習—一練習——反饋———小結”這些環節，使教學目標得以強化和落實.

　　（三）小結

　　（師生活動）共同小結.

　　本節主要內容有

　　1.組合概念.

　　2.組合數計算的兩個公式.

　　（四）布置作業

　　1.課本作業：習題10 3第1（1）、（4），3題.

　　2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人？

　　3.研究性題：

　　在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？

　　（五）課后點評

　　在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，并推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　作業參考答案

　　2.解；設有男同學 人，則有女同學 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學有5人或6人，女同學相應為3人或2人.

　　3.能組成 （注意不能用 點為頂點）個四邊形， 個三角形.

　　探究活動

　　同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？

　　解 設四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.

　　解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：

　　甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

　　甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

　　甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

　　由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.

　　解法二 可從利用排列數和組合數公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.

　　正向思考，即從滿足題設條件出發，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）.

　　逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時即為4人均拿自己制作的賀卡）.其取法分別為 1.故符合題設要求的取法共有 （種）.

　　說明（1）對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較復雜，且容易重復遺漏計算的排列組合問題，常可采用直接分類后用加法原理進行計算，如本例采用解法一的做法.

　　（2）設集合 ，如果S中元素的一個排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個錯位排列.本例就屬錯位排列問題.如將S的所有錯位排列數記為 ，則 有如下三個計算公式（李宇襄編著《組合數學》，北京師范大學出版社出版）：

　　①

　　②

　　③