求函數極限的方法總結（精選3篇）

求函數極限的方法總結 篇1

　　(一) 四則運算法則

　　四則運算法則在極限中最直接的應用就是分解，即將復雜的函數分解為若干個相對簡單的函數和、積和商，各自求出極限即可得到要求的極限。但是在分解的時候要注意：(1)分解的各部分各自的極限都要存在;(2)滿足相應四則運算法則，(分母不能為0)。四則運算的另外一個應用就是“抓大頭”。如果極限式中有幾項均是無窮大，就從無窮大中選取起主要作用的那一項，選取的標準是選趨近于無窮最快的那一項，對數函數趨于無窮的速度遠遠小于冪函數，冪函數趨于無窮的速度遠遠小于指數函數。

　　(二) 洛必達法則(結合等價無窮小替換、變限積分求導)

　　洛必達法則解決的是“零比零“或“無窮比無窮”型的未定式的形式，所以只要是這兩種形式的未定式都可以考慮用洛必達法則。當然，在用洛必達的時候需要注意：

　　(1)它的三個條件都要滿足，尤其要注意第二三個條件，當三個條件都滿足的時候才能用洛必達法則;

　　(2)用洛必達法則之前一定要先化簡，把要求極限的式子化成“干凈”的式子，否則會遇到越求導越麻煩的情況，有的甚至求不出來，所以一定要先化簡。化簡常用的方法就是等價無窮小替換，有時也會用到四則運算。考生一定要熟記常用的等價無窮小，以及替換原則(乘除因子可以替換，加減不要替換)。考研中，除了也常常會把變限積分和洛必達相結合進行考查，這種類型的題目，首先要考慮洛必達，但是我們也要掌握變限積分求導。

　　另外，考試中有時候不直接考查“零比零“或“無窮比無窮”型，會出“零乘以無窮”，“無窮減無窮”這種形式，我們用的方法就是把他們變成“零比零“或“無窮比無窮”型。

　　(三) 利用泰勒公式求極限

　　利用泰勒公式求極限，也是考研中常見的方法。泰勒公式可以將常用的等價無窮小進行推廣，如

　　(四) 定積分定義

　　考研中求n項和的極限這類題型用夾逼定理做不出來，這時候需要用定積分定義去求極限。常用的是這種形式

　　只要把要求的極限湊成等是左邊的形式，就可以用定積分去求極限了。

求函數極限的方法總結 篇2

　　1.驗證定義：“猜出”極限值，然后再驗證這個值確實是極限值/驗證收斂，再由極限唯一性可得。

　　2.利用收斂定理、兩邊夾、關于無窮小/大的一些結果，四則運算、復合（形式上的“換元公式”）、函數極限的序列式定義。

　　從1+2得到的一些基本的結果出發，利用3就可以去完成一大堆極限運算了。

　　先從函數極限開始：

　　3.利用初等函數的連續性，結果就是把求極限變成了求函數值。

　　4.關于P(x)/Q(x)，P、Q是兩個多項式。如果Q（a）不等于0，見4；如果Q（a）等于0但P（a）不等于0，Infinity；如果Q（a）=P(a)=0，利用綜合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除幾次直到"Q"不能被整除，這時候就轉化為前面的情形。

　　5.其它0/0：利用“換元”盡一切可能地轉化為幾種基本極限中的一種或多種。當然這里有一大殺器L'Hospital法則，不過注意它不能用來求sin x/x（x趨于0），因為：L'Hospital法則需要sin的導數，而求出lim sin x/x——求sinx的導數。

　　關于序列極限；

　　6.0/0，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加減輔助項，盡量把減轉化為加。

　　7.如果是遞推形式，先利用遞推式求出極限（如果有）應該滿足的方程，求出極限，然后驗證序列收斂。或者利用壓縮映像。

求函數極限的方法總結 篇3

　　利用函數連續性：直接將趨向值帶入函數自變量中，此時要要求分母不能為0；通過已知極限：兩個重要極限需要牢記；采用洛必達法則求極限：洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以采用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。

　　函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運算法則和復合函數的極限等等。

　　1、等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用，前提是必須證明拆分后極限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記（x趨近無窮的時候還原成無窮小）。

　　2、洛必達法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）。首先他的使用有嚴格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮！）必須是函數的導數要存在！（假如告訴你g（x），沒告訴你是否可導，直接用，無疑于找死！）必須是0比0無窮大比無窮大！當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對于（指數冪數）方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0，當他的冪移下來趨近于無窮的時候，LNX趨近于0）。

　　3、泰勒公式（含有e的x次方的時候，尤其是含有正余弦的加減的時候要特變注意！）E的x展開sina，展開cosa，展開ln1+x，對題目簡化有很好幫助。

　　4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法，取大頭原則最大項除分子分母！看上去復雜，處理很簡單！

　　5、無窮小于有界函數的處理辦法，面對復雜函數時候，尤其是正余弦的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的'函數，可能只需要知道它的范圍結果就出來了！

　　6、夾逼定理（主要對付的是數列極限！）這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

　　7、等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）。

　　8、各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

　　9、求左右極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，因為極限去掉有限項目極限值不變化。

　　10、兩個重要極限的應用。這兩個很重要！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應的形式（第2個實際上是用于函數是1的無窮的形式）（當底數是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限）。

　　11、還有個方法，非常方便的方法，就是當趨近于無窮大時候，不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數函數，快于冪數函數，快于對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！當x趨近無窮的時候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。

　　12、換元法是一種技巧，不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。

　　13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

　　14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法，走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

　　15、單調有界的性質，對付遞推數列時候使用證明單調性！

　　16、直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減某個值）加減f（x）的形式，看見了要特別注意）（當題目中告訴你F（0）=0時候f（0）導數=0的時候，就是暗示你一定要用導數定義！

　　函數是表皮，函數的性質也體現在積分微分中。例如他的奇偶性質他的周期性。還有復合函數的性質：

　　1、奇偶性，奇函數關于原點對稱偶函數關于軸對稱偶函數左右2邊的圖形一樣（奇函數相加為0）;

　　2、周期性也可用在導數中在定積分中也有應用定積分中的函數是周期函數積分的周期和他的一致;

　　3、復合函數之間是自變量與應變量互換的關系;

　　4、還有個單調性。（再求0點的時候可能用到這個性質！（可以導的函數的單調性和他的導數正負相關）:o再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數都是連續的所以間斷點是對于間斷函數而言的）間斷點分為第一類和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等于函數在這點的值可取的間斷點;第二類間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點（這也說明極限即使不存在也有可能是有界的）。

　　數學成績是長期積累的結果，因此準備時間一定要充分。首先對各個知識點做深入細致的分析，注意抓考點和重點題型，同時逐步進行一些訓練，積累解題思路，這有利于知識的消化吸收，徹底弄清楚有關知識的縱向與橫向聯系，轉化為自己真正掌握的東西。