材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異論文

　　材料力學(xué)(mechanics of materials)和彈性力學(xué)(theory of elasticity)都是力學(xué)的重要分支學(xué)科，盡管他們都是研究和分析各種結(jié)構(gòu)物在彈性階段的應(yīng)力和位移，但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學(xué)主要研究物體受理后發(fā)生的變形、由于變形而產(chǎn)生的內(nèi)力以及物體由此而產(chǎn)生的失效和控制失效準(zhǔn)則[1]。其主要的研究對象是桿狀構(gòu)件，即長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。材料力學(xué)除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析之外，通過試驗(yàn)現(xiàn)象的觀察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，大大簡化了數(shù)學(xué)推演。雖然解答只是近似的，但是可以滿足工程上的精度要求。彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)分支，研究可變性固體在外部因素如力、溫度變化、約束變動等作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結(jié)構(gòu)，如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)，亦可是桿狀構(gòu)件，并且其不引用任何假定，解答較材料力學(xué)更為精確，常常用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答。

　　材料力學(xué)與彈性力學(xué)同樣作為變形體力學(xué)的分支，在解決具體問題使，需要將實(shí)際工程構(gòu)件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型，在建立其已知量和未知量的推導(dǎo)關(guān)系時(shí)，要滿足如下基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)、小變形假設(shè)、完全彈性假設(shè)。下面本文將就在一下具體問題的解決中，探討材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究方法上的差異。

　　1.直梁在橫向荷載作用下的彎曲研究

　　1)在純彎曲梁中，對于平截面假定的驗(yàn)證

　　材料力學(xué)在研究梁的彎曲應(yīng)力時(shí)，采用純彎曲段分析。通過觀察對比梁變形前后表面橫向線和縱向線的幾何變形，推測梁內(nèi)部橫截面在變形后仍為平面。在彈性力學(xué)中，證明了其橫截面是否為平面的過程如下：

　　假定平面應(yīng)力情況，已通過多項(xiàng)式解答取φ=ay3，求得純彎曲矩形梁的應(yīng)力分量，將應(yīng)力分量代入物理方程、幾何方程，并積分變換得位移分量的表達(dá)式：u=meixy+f1(y)ν=-μm2eiy2+f2(x)

　　通過數(shù)學(xué)變換求得位移分量為：

　　u=meixy-ωy+u0

　　ν=-μm2eiy2-m2eix2+ωy+ν0

　　其中ω、u0、ν0為剛體位移

　　由上式可得，鉛直線段的轉(zhuǎn)角為：

　　β=uy=meix-ω

　　在同一個(gè)截面上，x是常量，因而β也是常量。可見，同一橫截面上的各鉛直線段轉(zhuǎn)角相等，即橫截面保持平面。

　　2)對于截面彎曲應(yīng)力的修正與分析

　　在材料力學(xué)中，根據(jù)平面假設(shè)和單向受力狀態(tài)導(dǎo)出了應(yīng)力公式。但此公式僅限于純彎曲梁，當(dāng)梁受橫向外力作用時(shí)，梁發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)變形后已不再是平面，單向受力狀態(tài)也不成立。針對此問題，材料力學(xué)一般做簡化處理。對于跨長與橫截面高度之比大于5的梁，用純彎曲正應(yīng)力公式σ=miy進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果雖然有誤差，但足以滿足工程上的精度要求，近似用該公式得到的結(jié)果作為橫力彎曲的正應(yīng)力計(jì)算公式。

　　而在彈性力學(xué)中，采用半逆解法嚴(yán)密的推導(dǎo)了各應(yīng)力分量。以均布荷載下的簡支梁為例，假設(shè)應(yīng)力分量形式σy=f(y)，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)，并代入相容方程得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式�？紤]主要邊界與小邊界后，得截面上的應(yīng)力分量為：

　　σx=miy+qyh(4y2h2-35)

　　σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2

　　τxy=fsbi

　　由上式可見，在彎應(yīng)力σx的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項(xiàng)是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)。對于通常的淺梁(跨高比大于5)，修正項(xiàng)很小，可以忽略不計(jì)，對于較深的梁，則必須考慮修正項(xiàng)。

　　應(yīng)力分量σy是梁各層纖維之間的擠壓應(yīng)力，它的最大絕對值是q，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，由于單向應(yīng)力假設(shè)，認(rèn)為縱向線之間互不擠壓，一般不考慮該應(yīng)力分量。

　　切應(yīng)力τxy的表達(dá)式和材料力學(xué)完全一樣。

　　從表達(dá)式中可以看到，當(dāng)l>>h時(shí)，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進(jìn)一步說明了，材料力學(xué)的公式可以近似滿足工程梁的計(jì)算精度，而彈性力學(xué)推導(dǎo)相對復(fù)雜因此材料力學(xué)具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

　　2.切應(yīng)力互等定理

　　在材料力學(xué)中，以圓桿的扭轉(zhuǎn)為背景，考慮了一個(gè)特殊的簡單應(yīng)力狀態(tài)，并加以推理得到了切應(yīng)力互等定理。在沿桿軸線方向取微段dx，垂直于徑向的平面截出一無限小的單元體，則很容易得出內(nèi)外表面無應(yīng)力，只在左右兩個(gè)面上有切應(yīng)力τ。則該單元體將會轉(zhuǎn)動不能平衡，所以推定在上下兩個(gè)縱截面上必定存在著τ'。由于面積很小，近似認(rèn)為切應(yīng)力在各面上均勻分布。

　　由平衡方程σm=0得到

　　(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy

　　從而得到：τ=τ'

　　而在彈性力學(xué)中，則從最普遍的情況出發(fā)，不作任何假設(shè)。取微小的平行六面體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系。由對中心點(diǎn)的力矩平衡方程，得到：

　　(τxy+τxyxdx)dy1dx2+τyxdy1dx2-(τxy+τxyydy)dx1dy2+τyxdx1dy2=0

　　將上式兩邊同除dxdy，合并同類項(xiàng)，并命dx dy趨于零，得到τxy=τyx 　　從而驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。

　　從切應(yīng)力互等定理的導(dǎo)出我們可以發(fā)現(xiàn)，材料力學(xué)在推導(dǎo)過程中運(yùn)用了一些推理和假設(shè)，而彈性力學(xué)的推導(dǎo)過程是比較嚴(yán)密和精確的。